由类比不当引起的错误分析

类比是根据两个对象或两类事物的一些属性相同或相似,猜测另一些属性也相同或相似的思维方法,是数学研究和学习的重要方法,也是寻求解题思路、猜测问题答案或结论的一种有效方法.但类比所得的结果未必都是正确的,有时会得出错误的结论.反例是否定由类比得到的错误命题的有力武器.下面我们举例说明.

例1 等差数列{an}的依次k项的和组成的数列a1+a2+…+ak, ak+1+ak+2+…+a2k, …, a(m-1)k+1+a(m-1)k+2+…+amk,…仍为等差数列.请问将该命题中的“等差数列”改为“等比数列”时结论还成立吗？

解

不成立.等比数列依次k项的和可能为0(如等比数列1, -1, 1, -1, …的依次2项的和构成的数列为0, 0, 0, …),而0是不能作为等比数列的项的,所以等差数列中的这个结论在等比数列中不再成立.

正确的类比结论是：等比数列{an}的依次k项的和在均不为零的情况下组成的数列a1+a2+…+ak, ak+1+ak+2+…+a2k, …, a(m-1)k+1+a(m-1)k+2+…+amk,…仍为等比数列.

点评

由此可知命题“若比数列{an}的前n项和为Sn,则Sk, S2k-Sk, S3k-S2k (k∈N*)也是等比数列”是不正确的.

例2 在等差数列{an}中,若an-k=A, an+k=B (n＞k),则有an=A+B2(A, B的算术平均数).试问在等比数列{an}中,

(1) 若an-k=A, an+k=B (n＞k),则an=AB (A, B的几何平均数)吗？

(2) 若an-2k=A, an+2k=B (n＞2k),则an=±AB吗？

解

(1) 不成立.设等比数列{an}的公比为q,则BA=q2k,所以qk=±BA,则an=an-kqk=A±±BA=±AB.

(2) 不成立.因为BA=q4k,所以q2k=BA,则an=an-2kq2k=ABA(实际上,an与A同号).

例3 (1) 设函数f(n)=n2+λn, n∈［1, +∞),若f(n)是增函数,求实数λ的取值范围；

(2) 设数列{an}的通项an=n2+λn, n∈N*,若{an}是增数列,求实数λ的取值范围.

解

(1) f′(n)=2n+λ,因为f(n)在［1, +∞)内是增函数,所以2n+λ＞0,即λ＞-2n在n∈［1, +∞)内恒成立,即λ＞-2.

(2) 方法1 因为f′(n)=2n+λ,所以f(n)在N*内是增函数,所以2n+λ＞0,即λ＞-2n在n∈N*时恒成立,所以λ＞-2.

方法2 因为an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-(n2+λn)=2n+1+λ＞0,所以λ＞-(2n+1)在n∈N*时恒成立,即λ＞-3.

剖析

解(2)的方法1是类比解(1)的方法得到的,但所得结果与方法2所得结果不同.哪个正确呢？方法2所得结果是正确的.

事实上,由λ＞-2n恒成立得到的λ＞-2,说明an在［1, +∞)上是增函数,而an在N*上是增函数并不要求其在［1, +∞)上是增函数.如以上问题中λ=-52时,an=n2-52n, an在［1, 2］内不是单调递增的,但并不影响an在N*上的图1单调递增性(如图1).所以说,要an在N*上递增,只要an+1＞an在N*上恒成立,而不需an在［1, +∞)上递增.这就是递增数列与递增函数的区别.

点评

“数列”学习的过程中既要注意函数与数列、等差数列和等比数列的共性,还要注意它们的个性.

例4 已知a, b, c都是非零向量,λ∈R,有下列5个等式或命题：①a・b=b・a;②a・(b+c)=a・b+a・c;③(a・b)c=a(b・c);④λ(a+b)=λa+λb;⑤若a・b=a・c,则b=c.则所有正确等式或正确命题的序号是 .

错解

①②③④⑤.

剖析

向量不同于实数,向量是有大小有方向的量.

因为a・b∈R,故(a・b)c与c共线;同理,a(b・c)与a共线.但a与c未必共线,故③不正确.

在正方体ABCDA1B1C1D1中,假设AB=a, AD=b, AA1=c,因为ab, ac,所以a・b=0=a・c,但b≠c,故⑤不正确.

故正确结果为①②④.

例5 设p, q是任意的非零向量,则|p+q||p-q|=|p2-q2|成立吗？

错解

成立.

剖析

因为|p2-q2|=|(p+q)・(p-q)|=|p+q||p-q|・|cosθ|(其中θ为向量p+q与p-q的夹角),所以仅当θ=0或π时,原等式才成立.而仅当p与q共线时,p+q与p-q才会共线,所以当p, q不共线时,|p+q|・|p-q|≠|p2-q2|.

点评

由此可知实数的某些运算律或性质在向量中不一定成立,几何中的某些性质在向量中也不一定成立.

例6 如图2,具有公共y轴的两个直角坐标平面α和β所成的二面角αy轴β等于60°.已知β内的曲线C′的方程是y2=2px′ (p＞0),求曲线C′在α内的射影的曲线方程.

错解

依题意,可知曲线C′是抛物线,在β内的焦点是F′p2， 0, p＞0.

因为二面角αy轴β等于60°,且x′轴y轴,x轴y轴,所以∠xOx′=60°.

设焦点F′在α内的射影是F(x, y),那么F位于x轴上,由∠F′OF=60°, ∠F′FO=90°,得OF=OF′・cos60°=p2・12=p4,所以点F为p4， 0.

依题意,射影是一条抛物线,开口向右,顶点在原点,焦点是F,所以曲线C′在α内的射影的曲线方程是y2=px (p＞0).

剖析

上述解答错误的原因是：首先,凭直观误认为焦点F′在α内的射影F也是焦点;其次,未经证明默认为抛物线C′在α内的射影也是抛物线.

应该在β内,设点M(x′, y′)是曲线上的任意一点.

如图3,过点M作MNα,垂足为N,过点N作NHy轴,垂足为H.连结MH,则MHy轴.所以∠MHN是二面角αy轴β的平面角.依题意,∠MHN=60°.

在RtMNH中,HN=HM・cos60°=12x′.

又知HM∥x′轴(或M与O重合),HN∥x轴(或H与O重合).

设N(x, y),则x=12x′,

y=y′,所以x′=2x,y′=y.

因为点M(x′, y′)在曲线y2=2px′ (p＞0)上,所以y2=2p (2x),即所求射影的方程为y2=4px (p＞0).

同学们在进行类比的过程中,既要相信自己的想象力,大胆地、创造性地运用类比的方法提出猜想、获得结论,又要对类比的结果保持谨慎的、探究的科学态度,通过图形印证、特例反驳等各种手段进行检验,直至用逻辑的方法进行严格的证明,才不至于犯下“美丽”的错误.