巧用对称法求解平衡问题

在解决物体的平衡问题时，若研究对象所受到的力具有对称性，求解时就可把较复杂的运算转化为较简单的运算，或者是将复杂的图形转化为直观而简单的图形进行求解。

例1.如图1所示，重为G的均匀链条挂在等高的两钩上，链条悬挂处与水平方向成θ角，试求：

（1）链条两端的张力。

（2）链条最低点处的张力。

解析：（1）取链条整体为研究对象，由于两边具有对称性，两端点的拉力大小相等，受力分析如图2所示，

由平衡条件得竖直方向2Fsinθ=G

所以两端点张力为F=

（2）求链条最低点张力时，可将链条一分为二，取一半研究，受力分析，如图3所示，

由平衡条件得水平方向所受力即为链条最低点时的张力

点评：有形的链条，其不同位置的受力具有对称性，既可取整体研究，也可取部分研究，两种情形皆可作为质点处理。求解时利用对称性可以简化分析过程。

例2.两块相同的竖直木板将三块完全相同的重均为G的木块A、B、C夹持住，处于静止状态，如图4所示，求B对A，B对C及板对A、C的摩擦力。

解析：以A、B、C组成的系统为研究对象，由对称性知，板对A和板对C的摩擦力均向上为F，

则：2F=3G即F=1.5G

以A为研究对象，则F=G+FBA

即FBA=F-G=0.5G

所以，B对A的摩擦力竖直向下，大小为0.5 G，由对称性知，B对C的摩擦力亦竖直向下，大小为0.5 G。

点评：根据问题情境可以选择整体或个体为研究对象，但整个求解过程中系统受力的对称性成为解决问题的捷径。

例3.如图5所示，长为5 m的细绳的两端分别系于竖立在地面上相距为4 m的两杆的顶端A、B。绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重12 N的物体。平衡时，绳中的张力T=（ ）

解析一：因为挂钩光滑，所以AO、BO的张力必相等，根据其对称特点，绳与水平面的夹角必相等，受力分析如图6，设绳与水平成α角，绳中张力大小为F，再设OB长为x，OC长为y，由三角形相似可知：

解析二：作如图7所示的示意图，则必有OB与OD以水平线CF对称，则OB与OD长相等，直接得到绳与水平成α角的函数关系为，然后再由平衡条件求解。

点评：应用对称性求解时，不仅考虑力的对称性，也要考虑其他方面的对称性，例如运动的对称性，结构的对称性，运用对称性往往可以简化解题过程。

（作者单位 甘肃省高台县教体局）