阿玛蒂亚 .森对阿罗不可能定理的发展

摘要：阿罗不可能定理问世以来，在经济学界产生了深远影响。它的悲观性结论很长一段时间在社会选择乃至福利经济学的发展中似乎成为不可逾越的障碍。1998年诺贝尔经济学奖得主印度籍经济学家阿玛蒂亚・森对阿罗不可能定理进行了卓有成效的突破和发展。森的贡献主要体现在两个方面：一是放松阿罗的某些条件，使多数规则成为合理的决策机制；二是通过丰富阿罗框架的信息基础，找到了罗尔斯最大最小化原则和效用主义原则两种满足阿罗所有条件的社会选择规则。

关键词：阿罗不可能定理；价值限制定理；社会福利函数

中图分类号：F019 文献标志码：A文章编号：1673－291X（2010）32－0017－03

一、阿罗不可能定理及其意义

为了进行最优社会福利判断，阿罗提出了一般的社会福利函数，用它来描述社会偏好顺序与任何可能的个人偏好顺序集之间的关系。假设用X、Y、Z等表示可供选择的方案，Ri表示个人i的偏好关系，可以写出个人偏好顺序为（R1，R2，…Rn），这是一个n维数组，或称之为一个剖面。令社会偏好顺序为R，如果建立一个函数关系使得个人偏好顺序集（R1，R2，… Rn）的每一个剖面都能转换成一个社会偏好顺序R，即R＝f（R1，R2，… Rn）。那么这个转换函数就是阿罗的社会福利函数（简称SWF）。显然，如果能够建立起这样的社会福利函数，并使其满足某些合理的条件（诸如非限制域、帕累托原则等），就能进行最优社会福利判断。不幸的是，阿罗发现没有一个社会福利函数能够同时满足这些合理的条件。①这个发现便是著名的“阿罗不可能定理”[1]。

阿罗不可能定理表明，试图通过某一合理程序把所有个人偏好次序加总为社会偏好次序，从而根据社会偏好确定最大社会福利是不可能的。这一消极结果激发了人们不断地寻找避开不可能结果的途径。不难发现，阿罗不可能定理框架中，充分尊重个人的价值判断，只根据个人的偏好次序推引社会偏好次序，而各公理性条件又都是社会充分反映民主的一种保证，放弃其中任一条件都意味着民主受到一定伤害。但是完全民主的决策从来都是不存在的。何不退而求其次，寻求最大限度体现民主的决策机制？另外，在阿罗不可能定理框架中，没有任何价值判断，因而最优社会福利即使存在，并无实质内容。因此，要寻求最优社会福利，必须引入社会价值判断，而要遵循某种价值判断，只依赖个人序数不可比的效用信息是不够的，必须要丰富有关个人福利的信息。是否可以考虑从丰富阿罗不可能定理的信息基础角度进行研究？阿玛蒂亚・森正是从上述两个方面分别进行研究，从而对阿罗不可能定理进行挑战，进而扭转了社会选择乃至整个福利经济学长期以来的悲观局面。

二、森对阿罗不可能定理的突破和发展

（一）放松某些条件，使多数规则成为合理的社会决策机制

现实中进行社会选择最常用的办法就是投票，而投票程序通常遵循少数服从多数的原则（简称多数原则）。然而这种多数原则可能产生不一致的结果，最早发现这一问题的是法国社会学者康多塞特。他发现，如果有三个人，偏好次序如表1所示，让三个人分别对（A，B），（B，C），（A，C）三组方案分别进行投票，按多数规则，结果分别为：A>B，B>C，C>A，显然随着投票顺序的改变，投票的最终结果将在A、B、C三个方案中出现循环。这一发现被称之为“康多塞特悖论”或“投票悖论”。

一般认为，阿罗不可能定理是对投票悖论问题的一般化。按阿罗的诸条件来看，多数原则满足条件U、I、P、D及集体理性中的反身性和完备性，只违背了传递性，从而产生不一致的结果。这种非传递性的产生是由于人们的偏好次序不协调造成的，因此，只要放松条件U，对人们的偏好进行某种限制即可。

1．放松条件U，提出价值限制定理

森首先把一个方案的价值定义为：在包括该方案的三种方案的个人偏好排序集中，该方案具有的最好、最差或居中这三种可能的特征[2] 。如在表1中，对甲而言，A方案具有一个价值，即最好。显然如果个人对所有方案的排序是无差异的，这时某种方案可能同时具有三个价值，而这种无差异性并不影响社会偏好排序，因而森把那些持无差异偏好的个人作为不予考虑的人（unconcerned individual）排除在外，把剩下的人称为需关注的人（concerned individual）[2]。这样，对于需关注的人来说，每种方案最多能有两种价值。接着，森提出了价值限制假定：对于每一组被选方案中的任何三种方案，根据个人偏好排序集合，总能找到一个对所有人而言，都不具有某种价值的方案[2]。显然，表1中甲、乙、丙的偏好排序集合不满足价值偏好假定，而只要对其中任何一个人的偏好排序稍加改变即可。如把甲的偏好排序改为B>A>C，那么，对甲、乙、丙而言，A方案就是一个不具有“最好”价值的方案。在价值限制假定的基础上，森提出了“价值限制定理”。其内容是：对于一组被选方案，若对其中任何三种方案，需关注的个人偏好排序都满足价值限制偏好的要求，且需关注的个人人数为奇数，此时，多数规则可以产生均衡的投票结果[2]。如把甲的偏好排序改为B>A>C后，让三个人分别对（A，B），（B，C），（A，C）三组方案分别进行投票，按多数规则，结果分别为：B>A，B>C，C>A，没有投票悖论产生，最终B方案将被通过。

尽管价值限制偏好是多数规则获得一致性决策的重要保证，但应该指出的是，它是以需关注的个人人数为奇数为前提的，否则，投票悖论仍然存在。例如，有四个人对X、Y、Z的偏好排序依次为：X>Y>Z、X>Y>Z、Y>Z>X和Z>Y>X。按照多数规则，对（X、Y），（Y、Z），（Z、X）三组方案分别进行投票的结果为：X=Y，Y>Z和X=Z 。而若对投票人数进行限制，显然是过于苛刻了。接下来，森就致力于消除多数规则下对投票人数的限制。

2.传递性弱化为准传递性，把社会福利函数（SWF）拓展为社会决策函数（SDF）

准传递性不要求无差异性偏好具有传递性，只要非无差异偏好（严格偏好）具有传递性。即若x>y 和y>z同时存在，必有x>z。由于社会选择的最终目的往往是找出最优社会偏好，运用多数规则往往是确定最优方案或最佳候选人，基于这一思想，森引入了选择集和选择函数两种工具。选择集是对于满足偏好关系R的一组方案集s中最优方案的集合。选择函数是确保对于所有方案集x的每一个非空子集s的选择集为非空的一种函数[3]。显然，若对于所有备选方案的集合x，选择函数存在，那么对于x的任意非空子集s，都存在最优社会偏好。而选择函数存在的条件是什么呢？森提出了选择函数存在定理：若x包含有限个方案，只要偏好关系R具有反身性、完备性和准传递性，那么关于x的选择函数C（s，R）存在[3]。

至此，森已经通过把传递性弱化为准传递性，从而把阿罗的完全排序（满足反身性、完备性、传递性的社会偏好排序）弱化为选择函数。和阿罗的社会福利函数（SWF）相对应，森引入了社会决策函数（SDF）[3] 。SDF的表示方式可以与SWF相同，都是R＝f（R1，R2，…Rn），但对R的要求不同：SWF要求R是完全排序，而SDF则要求每一个R能产生一个选择函数。回到前面提到的四人投票的例子上来，森的选择集为：C[（x，y）， R]=[x，y]；C[（x，z），R]=[x，z]；C[（y，z），R]=[ y]；C [（x， y， z），R]=[x，y]。显然，选择函数是存在的。对x、y、z这三种方案进行投票，不管投票顺序如何，按照多数规则，得到的结果都是x或y当选。

综上所述，森通过放松条件U及传递性，把SWF变为SDF，从而找到一条避开阿罗不可能结果的有效途径，并为现实中普遍采用的多数规则奠定了坚实的理论基础。

（二）丰富阿罗不可能定理框架的信息内容，对其进行了全新的突破和发展

多数规则作为社会选择的规则，存在不可克服的弱点。它只适用于像委员会决策这类判断的加总，而不适用于涉及收入分配的利益加总。因为对于前者，只要求以某种公平民主的方式对各成员的偏好加以综合，得到某种一致性选择即可；而对于后者，不仅要对人们的偏好，还要对人们的福利水平、福利得失进行加总，其目的是寻找最优的社会福利。若把多数规则应用到利益加总，可能产生令人不安的结果。例如，考察在两种不同情况下，把给定数量的蛋糕在三个人之间进行分配的问题。在情况A中，甲很富有，而乙、丙都很穷。而在情况B中，甲很穷，乙、丙都很富有。若有一个再分配方案：减少甲的蛋糕份额，把这部分蛋糕平分给乙、丙。显然乙、丙都偏好这种再分配方案，而甲不偏好。按照多数规则，不论处于哪种情况，该方案应通过。而若处于B情况，结果会令人不安。但是在阿罗社会福利函数（或社会决策函数）框架下，我们不能得出该方案在A情况下比在B情况下更公正的结论。因为若上述结论成立，依据应该是在B情况下，甲比乙、丙要差，而在A情况下，甲比乙、丙要好。这种“好”或“差”，要么指效用高低，要么指贫富。而在阿罗的社会福利函数框架下，没有效用人际比较和非效用信息，这两种说法都不成立，因而无法对A、B两种情况加以区分，也得不出较合理的社会福利判断。由于多数规则的局限性与其所依赖的信息有关，要探求避开阿罗不可能结果的另外出路，可考虑从阿罗SWF的信息基础入手。

1.森的社会福利函数SWFL

由于阿罗的社会福利函数框架中效用信息缺乏，也无法容纳更多的效用信息，森引入了一个能容纳更多效用信息的社会福利函数（Social Welfare Functional，简称SWFL）。森的SWFL是能把任意一组关于所有社会状态的个人福利函数转换为一种关于各社会状态的社会福利排序的函数[1]。若用Wi表示第i个人关于社会状态集X的个人实值福利函数，而若能建立一种函数关系，使得每一个n维数组（W1，W2，…Wn）都能转换成唯一的社会福利排序R，这种转换函数就是森的SWFL。森的SWFL不仅能容纳效用的各种测度方法，还能包容各种类型的效用人际比较。最基本的效用人际比较有两种：水平比较和单位比较。前者是指不同个人之间福利绝对水平可以比较；后者则是指可以比较不同人在不同社会状态下的效用差额[4]。根据效用测度、比较的不同假定，有以下几种基本的效用信息假定：（1）序数水平可比较；（2）基数单位可比较；（3）基数不可比； （4）序数不可比。

对应阿罗SWF的条件U、I、P、D， 森的SWFL应满足条件U'、I'、P'、D'。森把阿罗的SWF拓展为SWFL后，条件U、P、D相应地变成了条件U'、I'、D'，只是把个人偏好排序组合变为个人福利函数组合，而条件I变成条件I'，社会对任意一对状态（X，Y）的排序，不只是依赖与所有成员对X、Y排序，而且依赖于所有成员对X、Y的个人福利函数值。由于森的SWFL包括各种效用信息假定，阿罗研究的是序数效用不可比的情况，满足U'、I'、P'、D'及ONC的SWFL与满足U、I、P、D的SWF是等价的，因此，阿罗的SWF可视为森的SWFL的一个特例。

2.在SWFL框架下，存在两种满足阿罗所有条件的社会选择规则

罗尔斯在研究有关制度类型的选择时， 提出了最大最小化标准，即追求最差人的福利水平最大化。森把这一标准运用到社会选择中来，根据个人在某社会状态下的福利水平， 对它们进行排序，找出最差的人， 再把各状态下的最差的人福利水平进行比较， 从而找到使最差人福利最大化的社会排序[5]。只要每个人都具有完全排序，且存在人际间进行福利水平比较的方法， 就可以得到一个完全的社会排序。若对x、y 进行社会排序：在x下最差人是i ，福利水平为 Wi（x），而在y下最差人是j， 福利水平为 Wj（y）， 且 Wi（x） ≥ Wj（y）， 则有社会排序x至少和y一样好。不难看出， 只要在序数效用下， 引入效用水平人际比较， 罗尔斯的最大最小化规则是满足U'、I'、P'、D'的SWFL。

如果把序数效用变为基数效用， 水平比较改为单位比较，还可以找到另一种社会选择规则――古典的效用主义规则。该规则为：对于任意两种社会状态（x 、y）， 只有在 x 下所有成员的福利总和大于在 y 下的福利总和， 社会排序才有 x 胜于 y。显然， 效用主义规则对于任意一组函数组合， 都可以产生一种满足U'、I'、P'、D'的完全社会排序R 。

三、森对阿罗不可能定理进行发展过程中的若干特点

（一）把判断加总和利益加总区别对待

阿罗定理主要探讨个人偏好加总问题。而阿罗的偏好是个很宽泛的概念，可能与个人切身利益关系不大或完全无关， 也可能与个人利益息息相关。 森把前者视为与个人判断相关的偏好， 而把后者视为与个人利益相关的偏好。相应的加总问题， 分别是判断加总和利益加总， 加总的结果分别为社会决策（ 主要指委员会决策 ）和社会福利判断。对社会决策而言， 只寻求一种公平的方式处理个人判断偏好， 以达到某种社会可接受的选则即可， 而不管这种选择从社会福利角度来看是不是最优的。而对于社会福利判断而言， 则必须关注个人的各方面福利信息， 寻求最优的社会福利判断。基于上述思想， 森把阿罗定理试图解决的问题， 区分为寻求合理的社会决策机制和最优社会福利判断两个方面，分别进行探讨， 并取得了突破性的进展。

（二）强调社会选择的规范性

为解决投票悖论问题， 森提出了价值限制定理， 从而把那些不符合价值限制要求的个人偏好排除在外， 而这种价值限制要求应是某种社会价值判断要求的一种体现。在寻求最优的社会福利判断方面， 森引入了效用或福利的人际比较， 要么不同个人对一组社会状态的偏好强度可以比较， 要么不同个人在同一社会状态下的福利水平可以比较。不论哪种情况的人际比较， 都是以一定社会价值判断为基础的。从这个意义上看，森是在增加社会选择的规范性内涵的基础上， 对阿罗不可能定理进行发展的。

（三）在效率与平等两者中， 偏重平等

森认为，帕累托标准的一个重要缺陷是忽视了收入分配问题， 也忽视了人与人之间的不平等问题， 而要讨论平等或不平等这一问题， 首要的前提就是人与人之间的福利是可以进行比较的。因此， 森提出了人际间效用或福利可以比较的各种假定。森偏重平等的思想还突出表现在他推崇罗尔斯的最大最小化规则， 显然，如果苛守这一规则， 最差人福利的较小提高， 可能会造成其他人福利的更大损失， 从而导致效率的一定损失。

参考文献：

[1] Sen Amartya K. Collective Choice and Social Welfare[M]. San Francisco， CA： Holden-day. 1970：89 -129.

[2] Sen Amartya K. A Possibility Theorem on Majority Decisions [J]. Econometrica. April. 1966：491-509.

[3] Sen Amartya K. Quasi-Transitivity， Rational Choice and Collective Decisions[J]. Review of Economic Studies. July 1969. 36（3）：381-393.

[4] Sen Amartya K. Personal Utilities and Public Judgment： or what wrong with welfare Economics[J]. Economic Journal. September， 1979：537-538.

[5] Sen Amartya K. On Weights and Measures： Informational Constraints in Social Welfare Analysis[J]. Econometrica . October， 1977：1539-1572.