建模教学让中职数学焕发创造活力

2009年颁布的《中等职业学校数学教学新大纲》指出，“使学生掌握必要的数学基础知识，具备必需的相关技能与能力，为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础”。从2006年开始，浙江省丽水市组织“丽水市中职数学知识应用大赛”，使同类职业学校在数学建模和应用方面进行更多学习与交流。2016年5月，丽水市教育教学研究院组织开展了丽水市中职数学课堂教学评比暨数学建模教学观摩活动，活动对增强中职学生数学应用意识、提高中职数学教师开展数学建模的教学能力有很大的现实意义。

一、中职数学建模教学宜低起点、小步子、多活动

中职数学建模的模型素材主要来源于数学教材内容以及对数学教材内容的延伸、拓展和改编，应该贴近学生的生活实际，具有一定的实践性与趣味性。中职数学建模教学一般先提出问题、引入正题，然后分析问题，在“引导―探索―创造”中建立模型，最后利用模型解决问题。根据中职学生的身心发展水平、已经掌握的知识结构，中职数学建模教学宜低起点、小步子、多活动。

案例1.中等职业学校教材・数学（基础版）第一册・第87页例5

模型假设：

一家旅社有客房300间，每间房租20元，每天都客满。旅社欲提高档次，并提高租金。如果每间房租增加2元，客房出租数会减少10间。不考虑其他因素时，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金收入最高？

此题是课本一元二次函数内容中作为典型例题的应用题，它利用二次函数的最值或不等式的基本性质可使问题获解，具有代表性和实用性。此题背景是与人们生活密切相关的怎样定价的问题，学生对此比较熟悉，也对学生有一定的吸引力。问题是学生如何把这一应用题抽象化为数学模型。学生根据前面所学函数知识以及利用函数建模的意识，建立了如下的数学模型。

解：设提高x个2元，则将有10x间客房空出，则客房租金总收入为

y=（20+2x）（300-10x）

=-20x2+600x-200x+6000

=-20（x2-20x+100-100）+6000

=-20（x-10）2+8000.

由此得到，当x=10时，ymax=8000，即每间租金为20+10×2=40（元）时，每天租金的总收入最高，为8000元。

根据此题目训练学生利用函数知识来建模是具有代表性的。该题虽然不算复杂，但是却有相当的综合性和典型性，内涵比较丰富，利用它可以改编出很多高思维价值的数学题目。

改编题一：某书刊以每本2元价格发行，可发行10万本，若每本价格提高0.20元，发行量将减少5000本，要使销售收入达到最大，应以多少元价格发行该书刊？

改编题二：某种商品每件进价600元，零售每件1000元，经过一段时间的试销，发现若每件按1000元销售时，平均每月可销售100条，但若销售价每降低1%时，每月的销售量可增加10%。商店为取得销售这种商品的最大收入，应以每件多少元销售为宜？

改编题三：某种商品只有A、B两个商店有售，而且价格相同，但是A店的运输费（即每千米运费）是B店的2倍，顾客可以函购（即书信、电子邮件或电话联系后由商店送货上门），已知A、B两地相距12千米，什么范围内的居民从A店购买该种商品比较合算（即包括运输费在内的总费用较少）？

只要教师做个有心人，精心设计，课本中的数学问题大都可以挖掘出生活模型。开展切实有效的数学建模教学活动，能有效激发学生的创造活力，培养学生的创新精神。

二、中职数学建模教学宜与专业有效整合

与专业课相衔接是中职数学教学改革的方向。中职学生学数学的热情远低于学习专业课，由于数学底子薄弱，许多中职学生放弃学数学，数学教师急需寻找出路。通过将数学教学内容与专业有机结合的探索与实践，变革常规的课堂教学，使学生重新扬起学习数学的热情与动力。从学生熟悉的生活实例或与专业有关的实例创设教学情境，引发学生的认知冲突，从而链接数学知识，通过师生的共同探究，再将数学知识应用于处理实际问题或专业问题。教师要积极引导学生自己动手操作，使每个学生都能主动地参与进来，激发学生的数学学习兴趣，也使学生懂得专业需要数学，生活离不开数学，从而达到预期的效果。

案例2.学生建模案例（片段）：做个精明的旅游者

数学与生活密切相关，可以涉及各个领域。比如在建筑中，工程师往往需要用数学来计算建筑的比例，比如洗衣节水问题等等。在生活中，需要学会许多数学技巧，虽然每次只能省下一点，可是如果数量多了，或是次数多了，那么积少成多，加起来也会是一大笔钱，而且这样也可以为单调的买卖添加一些乐趣。旅游与数学的联系也较为广泛。当要组织一个团队去旅游，我们时常犹豫是该跟旅游团，还是自己组织去，哪一种比较合算一点。这就需要考虑人数、车型和车的数量以及门票等等的问题，不同的结果都关系着游客的利益。

模型假设：

假设总共有4个班准备去游学活动（旅游专业学生每学期1次），地点选择在缙云仙都，时间为一天，中晚餐自理。假设四个班平均每班人数为30人，则学生人数为 30×4=120人，加上学校规定每班需带上2位教师，所以总人数为 120+8=128（人）。

旅游景点：鼎湖峰、小赤壁、倪翁洞，门票分别为40元/人、10元/人、10元/人，凭学生证、教师证门票可以打五折。

大巴每辆可乘坐49人，租金为1700元；中巴每辆可乘坐29人，租金为1000元；小巴每辆可乘坐18人，租金为800元。

旅游团的标价为每人68元，全程有专业导游陪同，旅游集散中心有权利按实际人数调整车辆，且价格按25人核算，人数不足则需补足车费。

模型建立：

如果128个人跟旅行社，每人平均付68元，共需128×68=8704（元）。

如果自己组织去，则需要租车。先考虑车型的搭配问题，通过调查的数据，进行小组讨论，得出8种租车方案。但要考虑空位不能太多以及租金不能太贵等问题，其中第8种方案空出的座位最少，但是第5种方案的租金最少，所以最终选择第5种方案。大巴1辆、中巴3辆，空出座位8个，总计租金为1700+3×1000=4700（元）。

由于是自行组织去，门票只要30元每人，而3个景点票价为学生半票教师半票，则门票总计为128×30=3840（元），经统计，4个班自己组团去仙都的租车费需4700元，门票为3840元，总计4700+3840=8540（元）。

综上可知跟旅行团去共需8704元，每个人需要交68元；而自己组织去只需8540元，每个人需要交66.7元。可能个人只差了68-66.7=1.3（元），但如果128个人则差了8704-8540=164（元）。所以在上述的假设下选择方案5自行组织去。两种旅游方式中差价164元的去向，主要是旅行社的利润和导游费，当然可能这其中的差价不只164元，旅游团与租车行和景点之间还可能存在某种优惠。由于是一日游，而且用餐自理，所以不需要考虑住宿、餐饮等问题，可在此条件上得出自己组织去仙都比较划算，而且自由度也大一点。如果需要考虑住房、吃饭等，则情况可能有所不同。

模型分析：

上述的计算过程都是在模型假设的前提下建立的，在现实生活中具有一定的局限性。比如在车型及座位的问题上，只是选取了其中的一小部分，事实上大、中、小巴都分别有很多不同的类型。在假设的前提下，本文对各种情况的考虑还算周到，对车型搭配的不同方案都详细列出。

（作者单位：浙江省丽水市职业高级中学）