几何概型的常见交汇题型

几何概型隐含着一定的几何特征，这也意味着“几何概型”与“线性规划”、“平面几何”、“定积分”、“随机模拟”等知识点有着自然的交汇在几何概型的综合题型中，基于交汇的试题精彩纷呈下面以“交汇”为着眼点，展示几类精彩的试题

一、几何概型与线性规划

例1（2012年泉州市质检）已知不等式组

所表示的平面区域为Ω，从Ω中任取一点Q，则点Q横坐标大于2的概率为

所表示的平面区域Ω为图1中ABC

的内部区域；当点

Q横坐标大于2时， 点Q所在的平面区域为图中ADE的内部区域所以其概率

变式1（2012年高考北京卷）设不等式组

表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）

解析：题目中

不等式组表示的区域如图2正方形所示而动点D可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分，因此

二、几何概型与定积分

例2（2012年福州市质检）若从区间（0，e）内随机取两个数，则这两个数之积不小于

e的概率为（ ）

解析：设从区间（0，e）内随机取两个数分别为

其表示平面区域为图3中的正方形若这两个数之积不小于

f（x）=sin（ωx+φ）的导函数y=f ′（x）的部分图象如图4所示，其中，P为图象与y轴的交点，

A、C为图象与x轴的两个交点，

B为图象的最低点

（1）若φ=π6，点P的坐标为（0，332），则

（2）若在曲线段ABC与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为

解析：（1）易得ω=3

（2）由图知AC=

ABC与x轴所围成的区域的面积为S，则

又因为f（a）=1，f（c）=-1，所以S=2由几何概型可知该点在ABC内的概率为

三、几何概型与随机模拟

例3某同学由于求不出积分∫e1

lnxdx的准确值，于是他采用“随机模拟方法”和利用“积分的几何意义”来近似计算积分

∫e1lnxdx他用计算机分别产生10个在

[1，e]上的均匀随机数

xi（1≤i≤10）和10个在

[0，1]上的均匀随机数yi（1≤i≤10），其数据记录为如表1的前两行[FL）]

则依此表格中的数据，可得积分

的一个近似值为

解析：当随机数组（xi，yi）落在

x=1、x=e、x轴所围成的曲边梯形内时，需满足

yi

变式3：（2011年泉州市质检）定义函数

CONRND（a，b）是产生区间（a，b）内的任一实数的随机函数，如图5所示的程序框图，可用来估计

π的值.若输入N=200，则输出m=42，据此估计π的近似值为.

解析： 根据已知中的流程图我们可以得到该程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取[-1，1]上的两个数A，B，求

A2+B2>1的概率因为A∈[-1，1]，B∈[-1，1]，对应的平面区域面积为4，而

A2+B2>1对应的平面区域的面积为：

四、几何概型与实际问题

例4平面上有一组平行线且相邻平行线间的距离为3 cm，把一枚半径为1 cm的硬币任意平掷在这个平面，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（）

解析：选（B）；平面被这一组平行线分割成条状区域，现对两条平行线之间的区域考虑：平行线间的距离为3 cm，硬币半径为1 cm，要想硬币不与两条平行线相碰，硬币中心与两条平行线的距离都应大于1 cm如图6，硬币中心只有落在阴影部分（不包括边界）时，才能让硬币与两条平行线都不相碰，则硬币中心落在阴影部分的概率为13整个平面由无数个这样的条状区域组成，故所求概率是13

变式4：已知三座城市A、B、C两两相距40 km，在ABC内部随机选择一个点建立一个污水处理站，则该污水处理站与三座城市的距离都大于20 km的概率是.

解析：以A、B、C为圆心，以20为半径作圆，与ABC相交出三个扇形（如图7所示）当P不在阴影部分时符合要求，所以

福建省泉州第五中学 （362000）