掌握含绝对值不等式的解法提升学生解题才能

在实行新课程改革后，在高二数学选修4—5不等式选讲中，有一类含绝对值不等式的解法是高考中一个很重要的知识点。这类题目如果学生掌握了基本的解题方法，就能提升解题才能，轻松获得分数。现举例说明如下：

例题1：已知函数f（x）=x-2+x+3，求不等式的解集f（x）>5。

解法一：x-2的零点为2，x+3的零点为-3，f（x）=x-2+x+3分为三段。

① 当x≤-3时，f（x）=-x+2+（-x-3）=-2x-1，由 f（x）>5，-2x-1>5，即x

解得x

② 当-3

而f（x）>5，x无解。

③ 当x≥2时，f（x）=x-2+x+3=2x+1，由f（x）>5，2x+1>5，即x>2。

解得x>2。

综上所述不等式f（x）>5 的解集为{x|x2}。

小结：一般地把f（x）=0的解叫做f（x）的零点。先分别求出零点，然后分类讨论看零点把R分成了几个区间，判断正负从而去掉绝对值符号，分段展开再求解。这样的解法“零点分段法”具有一般性。

解法二：利用绝对值的几何意义

x-2的几何意义是数轴上点x到点2的距离，x+3的几何意义为数轴上点x到点-3的距离，即点x到点2的距离与点x到点-3的距离之和要大于5。数轴上点2与点-3间的距离为2-（-3）=5。数轴上的点x要位于点2与点-3的两侧，才能使距离之和大于5。 即f（x）>5的解集为{x|x2}。

小结：利用绝对值的几何意义来解题，可以减少运算量，使问题简单化。

【变式训练】

1. 解2 ≥2

分析：2 =2 2 ≥2 ，底数a=2>1由指数函数的增减性，即转化为求x-1-x+1≥ 的解集，而后按“零点分段法”或者利用绝对值的几何意义进行求解。

【变式训练】

2. 解log3x+log ≥1

分析：由真数大于0，两边有意义的范围是0

例题2：关于x的不等式x+1+x-2≥a的解集是R，求a的取值范围。

解法一：设f（x）=x+1+x-2，f（x）=x+1+x-2分为三段。

①当x≤1时，f（x）=-x-1+（-x+2）=-2x+1。

②当-1

③当x≥a时，f（x）=x+1+x-2=2x-1。

得到f（x）=x+1+x-2的最小值是3，从而a≤3，即a的取值范围为{a|a≤3}。

解法二：由绝对值的几何意义，得到f（x）=x+1+x-2的最小值是-1-2=3，从而a的取值范围为{a|a≤3}。

小结：求类似a的取值范围时，当含有绝对值的不等式f（x）大于一个数时，利用“零点分段法”或绝对值的几何意义求出f（x）的最小值，令a小于这个最小值即可；当含有绝对值的不等式f（x）小于一个数时，求出f（x）的最大值，令a大于这个最大值即可。

【变式训练】

3：关于x的不等式x+1+x-2

分析：设f（x）=x+1+x-2，利用“零点分段法”或绝对值的几何意义求出f（x）的最大值，令a大于这个最大值即可。

总之，做题要进行题后反思，总结一下所用公式、解题思路、方法，逐渐构建出自己的知识体系，提升自身解题才能，下次遇到类似的题目就会事半功倍。

（拉萨市第二高级中学）