收尾速度问题――洛伦兹力参与下的曲线运动

关于收尾速度问题，很多资料已经有讨论了，而且分析的非常详细.例如：（1）课本上的我们比较熟悉的机车启动问题，最终以最大速度收尾；（2）雨滴下落受到的阻力f=kv2，雨滴最终匀速下落，以最大速度收尾；（3）电磁感应中的导体棒（导体框）的收尾速度问题；（4）受洛伦兹力的物体在有“约束”条件下的收尾速度问题（串在绝缘杆上的带电环）

以上提到的情况几乎包括高中阶段所有收尾速度问题了，但都是直线运动问题，唯独缺少曲线运动的情况.下面我们一起来讨论一下有洛伦兹力参与下的曲线运动问题（“无约束”情况）.

例题1一个质量m=0.1 g的小滑块，带有q=5×10-4 C的电荷放置在倾角α=30°的光滑斜面上（绝缘），斜面置于B=0.5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直纸面向里，如图1所示.小滑块由静止开始沿斜面滑下，其斜面足够长，小滑块滑至某一位置时，要离开斜面.求：（1）小滑块带何种电荷？（2）小滑块经过多长时间离开斜面？（3）该斜面至少有多长？（g=10 m/s2）

解析（1）小滑块沿斜面下滑过程中，受重力mg、斜面支持力FN和洛伦兹力f.若要小滑块离开斜面，洛伦兹力f方向应垂直斜面向上，根据左手定则可知，小滑块应带有负电荷.

（2）小滑块沿斜面下滑时，垂直斜面方向的加速度为零，

有qvB+FN-mgcosα=0，

当FN=0时，小滑块开始脱离斜面，此时，

qvB=mgcosα，

得v=mgcosαqB=23 m/s.

（3）下滑过程中，只有重力做功，由动能定理得

mgssinα=12mv2，

斜面的长度至少应是s=v22gsinα=1.2 m.

我们不妨顺着斜面足够长这个条件，再深入思考，再来一个开放性的问题.

（4）假设斜面足够长，磁场足够大，试分析小滑块脱离斜面后的运动情况？

分析脱离斜面后，重力与洛伦兹力的合力沿速度切向的分量，改变速度的大小，使滑块继续加速；垂直速度方向的分量斜向上，改变速度的方向，使滑块做曲线运动.同时洛伦兹力的方向也随速度方向改变而改变，直到洛伦兹力与重力等大反向，即qvmB=mg时达到最大速度.

所以，小滑块脱离斜面后做变加速曲线运动（如图2），直到加速度a=0，即qvmB=mg时，达到最大速度vm=mgqB，即收尾速度.

气阻力不计，下列说法正确的是

A.在复合场中，小球做匀变速曲线运动

B.在复合场中，小球下落过程中的电势能减小

C.小球从静止开始下落到水平地面时的动能等于其电势能和重力势能的减少量总和

D.若其他条件不变，仅增大磁感应强度，小球从原来位置下落到水平地面时的动能不变

解析小球进入复合场时，电场力与洛伦兹力方向都向右，因此小球不可能沿竖直方向向下运动，电场力会对小球做正功，小球电势能减小，故B正确；小球下落时有两个力做正功：重力和电场力，由动能定理知小球动能的改变量等于重力和电场力做功之和，而重力和电场力做功之和又等于小球重力势能和电势能的减少量之和，故C正确；由于动能和速度的变化引起洛伦兹力的变化，故加速度变化，故A错误；仅增大感应强度，则小球穿过复合场区时在电场方向上的位移会发生改变，因此电场力做的功也会不同，则小球到达地面时的动能也会不同，故D错.

答案B、C

同样我们再深入思考，假设PQ离地足够高，复合场足够大，试分析小球的运动情况？

分析如图4所示，当小球下落距离足够大时，有qvB=mg，但是电场力qE作用下，小球继续加速qvB>mg，曲线会向上弯曲.电场力与重力的合力（等效重力）G′先做正功，直到速度方向与等效重力G′垂直，等效重力不再做功，

达到平衡状态，以最大速度vm=（mg）2+（qE）2qB收尾.

通过以上实例，我们发现：物体的运动轨迹无论是直线还是曲线，收尾速度都是以最大速度作匀速直线运动.那么他们有些什么共同点呢？什么样的物体会这样运动呢？通过分析不难发现，他们都受到与速度有关的力（F=P/v，f=kv2，F安=B2L2v/R，f洛=qvB），这个力由运动速度决定，反过来力又制约着运动.当“与速度有关的力”与“剩余其他力的合力”等大反向时，达到“终极平衡态”，即收尾速度.