基于马尔可夫链蒙特卡洛(MCMC)方法的GARCH模型实证研究

摘　要：在对GARCH模型进行探究的基础上，分别对马尔可夫链蒙特卡洛方法中的Gibbs抽样和Metropolis-Hasting抽样进行了讨论，并使用蒙特卡洛方法对上证指数进行GARCH建模，最后，通过对所得模型数据结果的分析得出了结论，即我国的上证指数收益率序列具有显著的异方差特征，且收益率波动的大小与其自身过去的波动大小有非常明显的关系，因此说，我国的大盘指数也可以采用GARCH模型来进行拟合和解释。

关键词： 马尔可夫链蒙特卡洛； GARCH； Gibbs抽样； M-H算法

中图分类号：O213

文献标志码：A

文章编号：1673-291X （2012）14-0179-02

引言

现代金融市场具有的高度不确定性给金融市场自身的健康发展带来了巨大的风险，金融市场的不确定性往往表现为市场的波动。在金融领域里，异方差建模为市场波动性刻画、风险的描述与防范以及资产定价等提供了有力工具。Bollerslev 1986年将Engle提出的ARCH模型进行了一般化，除了考虑误差项的滞后期之外，同时也加入了误差项条件方差的滞后期，从而导出广义自回归条件异方差（Generalized ARCH）模型，即GARCH模型。从形式上看，GARCH模型的优点在于成功的解决了ARCH（p）模型中阶数p较大的问题，减少了估计量，比ARCH模型具有更高的效益。

一、GARCH模型概述

多年来，人们观察到的许多金融实际数据都表现出市场在一段时期内有较大的波动，而在另一段时期上波动较小。虽然从统计检验的角度看，对收益率的相关检验大多不显著，但是对平方序列的相关性检验却是显著的，这就促使人们对波动率提出时变假设。后一个检验结果说明，波动率在一定程度上是可以预测的，于是Engle[1]于1982年提出了自回归条件异方差（ARCH）模型。其模型为：

（1）

其中，L为滞后算子，为q阶滞后算子多项式；Ωt为t时信息集，一般包括外生变量Rt和内生变量Rt的滞后项Rt-1，Rt-2 .

为了减少ARCH模型的滞后阶数及对参数的约束，Bollerslev[2]提出了GARCH模型。他在条件方差的方程中加上了滞后的项，能体现更为灵活的滞后结构。Bollerslev提出的GARCH模型为：

（2）

GARCH模型认为，收益率的方差可预测。条件方差不仅取决于最新的信息，也取决于以前的条件方差。

二、马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法

Monte Carlo方法也称为随机模拟方法，是一种基于贝叶斯统计理论的参数估计方法，该方法通过一种我们称之为马尔可夫模拟的过程即可实现。马尔可夫模拟的思想是在空间Ω上模拟一个马尔可夫过程，它收敛于平稳转移分布。马尔可夫链模拟的关键是构造一个具有指定的平稳转移分布的马尔可夫过程，并且充分长地运行这个模拟，使得过程当前的分布与平稳转移分布足够的接近。因此，我们将利用马尔可夫链模拟来得到分布的方法称为马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法。

MCMC方法的基本思想是构造一条具有指定平稳分布的马尔可夫链，即它的转移分布收敛到它的后验分布，然后充分长的运行此链，直到链上取值的分布与其平稳分布足够接近时，把来自链上的样本作为来自的样本，基于这些样本可进行各种统计推断，如求均值，方差，峰度，偏度等。不同的MCMC方法主要是构造Markov链的方法不同，常用来构造链的方法有Gibbs抽样和Metropolis-Hasting抽样[3]。

1.Gibbs抽样

Geman和Geman夫人、Gelfand和Smith提出的Gibbs抽样是应用最广泛的MCMC方法。Gibbs抽样具有将高维的估计问题利用所有参数的条件分布分解为几个低维问题的优点。Gibbs抽样的思想是利用条件分布族来得到以为平稳分布的马尔可夫链.Gibbs抽样过程如下：设记，再记第1至第（k-1）个分量固定为，同时将第（k+1）至第m个分量固定为的条件下，第k个分量的条件分布为：

（3）

定义的转移概率：

. （4）

P是一个转移矩阵，是它的平稳分布，Gibbs抽样并不需要知道平稳分布的具体表达式，只需要知道在固定其他分量的条件下，余下的一个分量的条件分布。

2.Metropolis-Hasting抽样

假定我们希望从分布中抽取一个随机样本，它包含一个复杂的标准化常数，直接的抽取要么太浪费时间，要么不可行，但若存在一个近似分布，且可以很容易的得到随机样本的话，那么则可以应用Metropolis算法。Metropolis算法就是从近似分布中产生一系列的随机抽取，使其分布函数收敛到。此算法的步骤如下：

步骤1：抽取一个随机的初始值，满足；

步骤2：对t=1，2，…

（1）第t次迭代时，在给定前面的抽取下，从已知分布中抽取一个候选样本。用表示已知分布，在Gelman中称为跳跃分布。这个跳跃分布要求是对称的，即对于所有的，，t，有

（2）计算比率

（3）选择

在一些正则性条件下，序列{}依分布收敛到。

算法的实施要求对所有的和计算比率r，以便从跳跃分布中抽取，并从均匀分布中抽取一个随机实现，决定接受或者拒绝。不需要的标准化常数，因为这里只利用比率。此算法的接受和拒绝准则思想如下：1.如果从到的跳跃增加了条件后验密度，则接受作为；2.如果这个跳跃降低了后验密度，则以等于密度比的概率设定=，否则设定=。

Hasting[4]1970年以两种方式推广了Metropolis算法。首先，跳跃分布无需对称；其次，跳跃准则修正为：

（5）

这个修正的算法称为Metropolis-Hasting抽样。

三、实证研究

1.数据及其统计分析。取上证指数为研究对象，数据全部来自雅虎中国网站。收益率指数采用对数收益率，即rt=100*（lnpt-lnpt-1），其中pt和pt-1分别是第t日和第t-1日的指数收盘价。为了避免股市的暴涨暴跌对模型拟合造成的影响，数据起始点选在1997年2月以后，即我国证监会对股市实行涨跌停板制度以后，时间跨度为1997年2月17日至2012年3月19日，样本数据共3656个。表1给出了序列的日对数收益率的基本统计情况。