“简中求道”之推理与证明

数学问题是静态的,它以“信息”的形式呈现在我们面前.解题过程就是对这些信息进行动态处理的过程:以我们存储机构中的信息、知识为基础,通过观察、类比、归纳、猜想等手段,捕捉、激活问题中孤立的、零散的甚至是混乱的信息,并不断地对之进行加工、重组与再生,在经历一系列中间状态的推理后,形成一系列相应完整的解题链,最后达到解决状态的过程.

由于知识基础、解题能力的不同,面对同一问题,不同人的解题过程有繁琐的、也有简易的,还有不能达到解题状态的.然而,“一个困难复杂问题的简易解答才是美的解答”,因此解答数学题的关键是:把握问题中信息之间主要矛盾与基本联系, 把握问题中信息与已有知识之间最简单、最本质的联系,通过推理与证明加以贯通,从而架设一条简易的解题之道(简称“简道”).下面我们就以几道常见的数学问题为例,一起探讨“推理与证明”之中的“简道”.

一、 梳理待解问题与熟悉问题间的本质联系,探求“简道”

我们面对一道新的题目着手准备解决时,总是首先将从中捕捉的有用信息与从存储机构中提取的有关信息结合起来,进行加工、重组与再生,这实质上就是解题思路的探求.G ・波利亚在他的解题表中也首先问:“你见过类似的题目吗？”,就是让我们梳理待解问题与熟悉问题之间的联系,从而探求“简道”.他的这句话可谓“一语三关”,既是启发你从“题”中捕捉信息,又是催促你从“记忆”中索取信息；如果你“见过”,这是一个信息,告诉你如何运动――两组信息也就沟通了；如果你“没见过”,这也是一个信息,等于告诉你进行下一步的行动.

例1 如图1,半径为1圆心角为3π2圆弧AB上有一点C.

(1) 当C为圆弧AB中点时,D为线段OA上任一点,求|OC+OD|的最小值.

(2) 当C在圆弧AB上运动时,D、 E分别为线段OA, OB的中点,求CE・DE的取值范围.

分析

本题是以扇形为背景的,考查其中的向量知识,这是一类常见题型,但不同的是平时熟悉的圆心角为2π3或是π3的扇形,本题改成“3π2”.同学们一定对原题还比较熟悉吧？即使时间长了,原题可能记不得,但对圆心角小于π的扇形我们还是比较熟悉的,这里即使换成新的扇形我们也一样处理.如果同学们这样认识,就抓住了待解题目与熟悉题目之间最本质的联系,待解题目不再陌生,惧“新”的心理自然得到缓解,题目也就简单了.

熟悉的题目所采用的方法主要有:建立直角坐标系、选取基向量法、运用向量数量积的定义等,由于高中阶段在直角坐标系背景下已将角进行了推广,本题的仅是把熟悉钝角2π3变成了不太熟悉的3π2而已,而无论是“2π3”、还是“3π2”还是换成其他的任意角,都能够统一在坐标系下了.因此本题选择用建立直角坐标系的方法解决.

解

(1) 以O为原点,以OA为x轴正方向,建立直角坐标系,设D(t, 0)(0≤t≤1),因为C-22， 22,所以OC+OD=-22+t， 22.所以|OC+OD|2=12-2t+t2+12=t2-2t+1,当t=22时,最小值为12.

(2) 设OC=(cosα, sinα)0≤α≤3π2,所以CE=OE-OC=0, -12-(cosα, sinα)=-cosα, -12-sinα.又D12， 0, E0, -12,所以DE=-12， -12.所以CE・DE=12cosα+12+sinα=22sinα+π4+14.因为π4≤α+π4≤7π4,所以CE・DE∈14-22， 14+22.

说明

在找新旧题目之间联系时,要尽可能探究出题目之间的不变成分,这往往是它们之间最本质的联系,如果做到了,新题目的解决自然成了简单的事.并且通过这种新旧问题的贯通,不仅能够强化对已学知识的理解与巩固,还能提升自己数学问题解决中的推理能力.

二、 观察问题中信息之间的基本联系,加工“简道”

当待解题目中的信息很多,且难以找到正确的解题途径时,我们可以逐条对信息进行加工.如果每条信息都能得到有效的处理,解题思路也就跃然纸上；如果有“不能加工的”或是“处理不良的”信息,问题的解决就会受阻,这些信息的处理就是我们解题时要突破的“关键”,一种突破的办法是采用“重组加工”.

例2 如果圆(x-a)2+(y-a)2=4上总存在两个点,到原点的距离为1,求实数a的取值范围.

分析

我们首先对题目中的三个信息进行逐条加工,具体如下:

问题中的信息信息的加工

信息1:圆(x-a)2-(y-a)2=4上总存在两个点两点的坐标满足方程；两点满足圆的几何定义；设出两点所在直线,直线恒与圆有交点

信息2:两点到原点的距离为1两点的坐标满足方程x2+y2=1

信息3:求实数a的取值范围得实数a的不等式；建立变量a的目标函数,转化为求函数的值域

当发现直接加工不能形成解题链时,观察信息1与信息2,找出它们之间的联系,并进行重组加工,不难发现有“数”与“形”两类解题思路:

思路1:从“数”的视角来加工,可以用方程组来解释,即问题推理为:方程组(x-a)2+(y-a)2=4,x2+y2=1 有两组不同的解,接下来可以两式相减,将“两个二元二次的方程组有两个不同解的问题”转化为“一个二元一次方程与一个二元二次方程有两个不同解的问题”,进一步地,同学们应该会处理,但这种方法明显较繁.

思路2:从“形”的视角来加工,可以用图形来解释,即问题推理为:两圆(x-a)2+(y-a)2=4、 x2+y2=1相交.因此,2-1＜a2+a2＜2+1,解得a∈-322, -22∪22, 322.明显比上一种方法简单,事实上,绝大部分数学问题如果能用“形”解决时,用“形”解决往往比用“数”解决简单.

思路3:如果画出草图,可以将问题推理为:研究圆(x-a)2+(y-a)2=4上的点到原点距离的最大值和最小值,它们分别是:a2+a2+2和|a2+a2-2|,因此,|2|a|-2|＜1＜2|a|+2,同样可解得:a∈-322, -22∪22, 322.

如果将信息1与信息3进行重组,我们可以得到第四种思路:

思路4:引进参数θ,建立a的目标函数,问题推理为:设圆(x-a)2+(y-a)2=4上到原点距离为1的点为(2+acosθ, 2+asinθ),则(2+acosθ)2+(2+acosθ)2=1,即42cosθ-π4=-3-a2,由于满足条件的点只有两个,则-1＜-3-a242a＜1,同样可以完成解答.

说明

本题中已知信息之间的联系都是基本的,无论怎样思考都比较自然,只要有这种“联系”的意识,就能够找到重组加工的简道.思路4主要是抓住了已知中的信息和要求中的信息的主要矛盾――已知的是等式(圆的方程),要求的需要不等式(求a的范围),因而,“引进参数θ,建立a的目标函数”是一种常规选择.当然,把问题看成是“研究两圆相交的问题”(思路2)最具有直观性,因而自然是本题的最美的“简道”.

三、 分析问题中信息之间的结构特征,选择“简道”

在一些问题的解决过程中,对已知条件中的同一个信息进行加工时,由于题目要求的问题不同,加工的方向也就不同,这就需要“选择”.要能够根据已有的“经验”对后续的推理过程进行预见,在开始解题时,首先把握各个信息的结构特征,将“已知中的信息”与“要求中的信息”的结构统一起来,从而简化解题及运算过程,实现“简道”.

例3 已知函数f(x)=2x-2-x21+x+21-x,(1)解不等式f(x)＞0；(2)求f(x)的单调性,值域；(3)判断f(x)的奇偶性.

分析

本题的关键是研究函数f(x)=2x-2-x21+x+21-x解析式的结构特征,根据三问的不同需要,选择不同的结构.

解

(1) 由于f(x)已知的是“商”的形式,对于解不等式f(x)＞0,结构是简单的,如果要进一步符合要求的话,可将2-x中的负指数化去,即:分子分母同乘以2x,得:f(x)=4x-122x+1+2＞0,再解不等式,就更简单了.(所以4x＞1,所以x＞0)

(2) 对于求值域和单调性,f(x)的解析式中,变量x最好只在一处出现,因此,减少x的个数是首要选择.即:f(x)=4x-12・4x+2=4x+1-22（4x+1)=12-14x+1,因此,只有单调增区间R,值域为-12, 12.

(3) 由于奇偶性是研究对称性的,对于判断函数的奇偶性,f(x)的解析式要尽可能“对称”些,化成对称的形式是最好的选择,即:f(x)=12×2x-2-x2x+2-x,这样计算f(-x)时,正好形成“对调”,与“对称”相匹配.

说明

对于同一个对象,怎样的结构才是“简”呢？这不好回答,“简”的结构是相对的,要看问题的需要,平常所说的“减元”是一种“简”；象因式分解那样将式子化为“积”与“商”的形式也是一种“简”；象(2)问中的那样将“积、商”的形式化成“和、差”是一种“简”；结构“对称”又是一种“简”.这些需要我们在推理与证明的过程中进行“选择”.

最后要说的是:同学们学“数学”,我们教师教“数学”,都是为了学会推理与证明、为了数学问题的解决,这是一门很重要又很复杂的学问――数学解题学.本文仅是肤浅地从三个例题出发与同学们交流了一些个人的解题经验,如何为一个个复杂困难的数学问题寻找美的解答,这还需要我们一起努力研究.但只要我们把握数学“简”的本质,“简中求道”,我们一定会有成功的收获.