5.2圆的对称性(1)教学设计

教学内容

苏科版九年级数学第五章《中心对称图形（二）》第二节《圆的对称性》第一课时

教材简解

圆是现实世界中最美观的图形，圆的许多性质在实际生活中都有广泛应用.圆最基本的性质是圆的轴对称与中心对称性，本课内容是运用圆的旋转不变性研究圆的圆心角、弧、弦之间的关系，是“图形的旋转、中心对称”等相关知识的延续和深化，同时也是后面圆的一系列性质的基础，承载着构建策略性知识的重要价值.

目标预设

1.知识与技能

通过探索理解并掌握： 理解圆的旋转不变性和中心对称性，了解用叠合法探索圆心角、弧、弦之间的关系，了解1°的弧的意义，会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题。

2.过程与方法

通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，体会类比、转化的数学思想，发展学生的思维能力，探究和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观

（1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣；

（2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐；

（3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。

重点、难点

重点：圆的旋转不变性及圆心角、弧、弦之间关系的探索和运用。

难点：借助圆的旋转不变性用叠合法探索圆心角、弧、弦之间的关系及关系定理中的“在同圆或等圆”条件的理解及运用。

设计理念

设计本课教学时，应立足于学生已有的生活、知识经验，运用直观演示法、引导发现法，通过具体的生活情境提出问题，采用学生动手操作、合作交流，教师适当引导的教学方式。设计了层次分明、思维含量高的问题串，引导学生主动观察、操作、思考、说理等，使学生在经历 “做数学”的过程中获得知识，感悟数学思想，发展思维能力；通过例题、变式训练、课堂小结等环节，培养学生分析问题、发现问题、提出并解决问题的能力和及时归纳、总结、反思的好习惯。

设计思路

本节课主要是通过旋转变换让学生理解圆的中心对称性，并借助旋转变换及圆的中心对称性来探索圆心角、弧、弦之间的关系，再次让学生体会圆的相关知识与直线形的联系，因此在本课教学时共设计了以下几个教学环节：

一、创设情境，导入新课

二、动手操作，探索新知

三、例题教学，理解运用

四、拓展延伸，开放探究

五、当堂反馈，释疑解惑

六、归纳小结，提升能力

七、分层作业，展示自我

教学过程

一、创设情境，导入新课

同学们，通过观看这几张生活中（转动的摩天轮、转动的轮子等图片）幻灯片，能谈谈你的发现吗？你知道什么是中心对称图形？我们一般用什么方法来研究中心对称图形的呢？（板书课题并提出本课的教学目标）

通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性.即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。圆的中心对称性是其旋转不变性的特例。即圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

【设计意图】绚丽多彩的动态画面暗含丰富的数学问题，可引起学生的好奇心、求知欲，促使学生感悟生活中无处不在的数学。情境创设中再结合中心对称概念的复习，并指出旋转变换是我们研究中心对称图形的常用方法，引起学生思考我们是否可以用类似的方法研究圆的中心对称性呢？从而使他们兴趣盎然地投入学习，带着问题走进课堂。

二、动手操作，探索新知

活动分为四个步骤进行：

活动一

1、让学生拿出事先准备好的大小一样的两张圆形透明纸片，绕着它们的圆心旋转任意角度，旋转后的图形能与原来的图形重合吗？

2、在两个圆形纸片上分别作两个相等的圆心角∠AOB，∠COD，连接AB、CD，在旋转过程中观察你的发现，与同桌交流结论。

3、课件演示后得出结论。

【设计意图】通过让学生自己动手操作初步感受圆的旋转不变性，在“做”中感受和体验，引导学生经历“操作―观察―猜想―说理”的过程，注重知识的形成过程。使学生对探究新知有了极大的兴趣，让学习过程不再是一种负担，而是一种享受、一种愉快的体验。

活动二

你是如何说明“在同圆或等圆中如果两条弧，两条弦，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。”这个结论的正确性？为什么要加上“在同圆或等圆中”中这个条件？ 注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提，否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论.

（通过举反例强化对定理的理解。例：在同心圆中两个圆心角相等但所对的弦、弧并不相等）

【设计意图】活动二的设计与安排是突破本课教学难点的重要环节，可再次通过动手操作及小组合作交流，教师留给学生足够的时间探究及讨论，给学生一些操作实践的机会，发挥学生的主观能动性，使新知识成为他们自己探索研究后所得的成果，感受成功的体验。

小组讨论后由学生自己归纳得出结论：

圆心角、弧、弦之间的关系定理：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

符号语言：

（1）如果AB=CD，那么∠AOB=∠COD， AB⌒= CD⌒ ；

（2）如果 AB⌒= CD⌒ ，那么AB=CD，∠AOB=∠COD；

（3）如果∠AOB=∠COD，那么AB=CD ，AB⌒= CD⌒。

思考一下：1、这个结论有什么作用？2、运用时应注意什么？

让学生理解该定理是用来证明两角相等、两线段相等、特别是两弧相等的一种重要手段。

【设计意图】将数学的文字、图形、符号语言相结合，规范学生数学语言，并让学生思考定理的作用，为知识的运用作下铺垫。

活动三

在圆心角、弧、弦这三个量中，角的大小可以用度数刻画，弦的大小可以用长度刻画，那么我们如何来刻画弧的大小呢？

（学生可自学课本交流心得）

将顶点在圆心的圆心角等分成360份，每一份的圆心角是10的角，于是，整个圆也被等分成360份。我们把10的圆心角所对的弧叫做10的弧。

弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.思考一下：能不能说成圆心角与它所对的弧相等？为什么？

【设计意图】九年级学生已经具备了一定的理解能力， 1°的弧的意义及圆心角的度数与它所对弧的度数之间的对应转化关系对于学生不会很困难，可让学生自己探索归纳。

活动四 牛刀小试

1、判断下列命题是否是真命题？如果不是真命题，请举出反例.v①相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等. （ ）

②相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦相等. （ ）

③圆心角与它所对的弧相等. （ ）

2、如图1，在O中AC⌒= BD⌒，∠AOB=50°，求∠COD的度数.

3、如图2，在O中，AB=AC⌒，∠A=40°，求∠B的度数.

4、90°的圆心角所对的弧的度数为______ .度数为60°的弧所对的圆心角的度数为_____

5、在O中，弦AB的长恰好等于半径，则弦AB所对的圆心角为度。

【设计意图】以上几组小练习，及时反馈，可进一步帮助学生加深对定理的理解，特别针对个别学生在使用性质时容易忽略“在同圆和等圆”这个条件，从而设计了三个判断题让学生辨析，举反例，加深对性质的理解，培养学生的数学应用意识和解决问题的能力，并为下面的例题讲解作铺垫。

三、例题教学，理解运用

例1、 如图3，AB、AC、BC都是O的弦，∠AOC=∠BOC，

∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？

变式训练1：如图3，AB、AC、BC都是O的弦，

∠ABC=∠BAC，那么OC与AB的位置关系如何，说说你的理由？

变式训练2：如图3，点C是AB⌒的中点，且AC⌒的度数是60°，判断四边形ACBO的形状，并说明理由.

【方法点拨】例1由学生自己先分析，可能一些学生会用全等的方法来说理，可以肯定他们的方法，这时候若将例题稍加变形：问题换为BD⌒与CD⌒是否相等，再去引导学生思考全等的方法还能证明吗？能不能运用我们学过的知识去解决呢？所以在同圆或等圆中，“两个圆心角、两条弧、两条弦”中只要有一组量相等，其余各组量也分别相等，因此要判断∠ABC与∠BAC是否相等，可以考虑两条途径：一是看这两个圆心角所对应的两条弧BD⌒与CD⌒是否相等；二是看这两个圆心角所对的弦是否相等。变式训练1、2在原有例题的基础上安排，难度不大，学生较易理解。

【设计意图】例题教学是本课知识点的直接运用，难度较低。但在例题基础上进行二度开发，加以引申扩充，这对培养学生思维的广阔性是大有裨益的，使学生的思维活动始终处于一种由浅入深，由表及里，由一题到一路的“动态”进程中，形成一条较为完整的知识链。 四、拓展延伸，开放探究

例2、 如图4，在点A、B、C、D都在O上，已知∠COD=2∠AOB.

（1）比较 CD⌒ 与2 AB⌒ 的大小关系，说明理由.

（2）连接AB、CD，比较CD与2AB的大小关系，说明理由.

变式训练：如图4，在点A、B、C、D都在O上，

已知： CD⌒ =2AB⌒ 仿照例题，提出一个问题并解决.

例2及变式训练有一定的挑战性，是对所学“圆心角、弧、弦之间的关系”性质的进一步拓展，即“同圆中，若一个圆心角是另一个圆心角的2倍，则这两个圆心角所对的弧、所对的弦有怎样的关系？”教学中，可进行如下追问：例2的教学体现的数学思想是什么？你还有什么想法？

【设计意图】例2是在例1的基础上拓展延伸的，且变式训练发散性较强，这也是现在中考易考查的常见题型。体现转化、类比的数学思想。这样从感性到理性，从基础到提高，层层深入，让学生主动参与，强化了重点，突出了难点，使本课教学得到了升华。

五、当堂反馈，释疑解惑

1.如图5，AB是O的直径，BC⌒=CD⌒=DE⌒，∠BOC=40°，∠AOE的度数是。

2. 一条弦把圆分成13两部分，则劣弧所对的圆心角为________.

3.如图6，在ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC于点E。求 AD⌒ 、DE⌒的度数。

4.如图7，AD、BE、CF是O的直径，且∠AOF=∠BOC=∠DOE.求证：AB=CD=EF.

5.如图8，点A、B、C、D在O上， AB⌒ = CD⌒ . 求证：AC=BD.

6.如图9，AB是O的直径，点C、D在O上，CEAB于E，DFAB于F，且AE=BF， AD⌒与BC⌒相等吗？为什么？

7.如图10，D、E分别是O的半径OA、OB上的点，CDOB，CEOB，CD=CE.求证：点C为AB⌒的中点.

以上1-5几条练习可以要求学生当堂完成，对于6、7两题学有余力的学生可以尝试，注重分层布置，照顾到学有困难、学有余力的学生。

六、归纳小结，提升能力

本节课你学到了什么数学知识、数学思想及方法？还有什么疑惑？

通过提问的方式引导学生小结本课的主要知识和研究数学的方法，养成学习-总结-学习的良好习惯，发挥自我评价作用，培养学生的语言表达能力。

【设计意图】让学生自己小结，活跃了课堂气氛，做到全员参与，理清了知识脉络，强化了重点，培养了学生口头表达能力。教学不仅仅是和学生分享知识和方法，更主要的是培养学生的学习习惯，提高他们的学习能力和自我评价能力，增强他们的信心，引导学生多角度地进行归纳总结，促进学生主动反思，培养学生的归纳总结、自我反思的习惯和能力。

七、分层作业，展示自我

详见学案及作业案：

基础训练必做，能力提升、拓展应用选做。

【设计意图】布置作业时能尊重学生的个性差异，采用分层布置作业，体现教学中的因材施教原理，力求实现：“人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”这一目标。基础训练难度不大，囊括基本知识点，能力提升及拓展应用难度由浅入深，给足学生思考空间，提高各层次学生的学习兴趣，激发他们的学习热情。