在问题中探究,在探究中提升

活动一：探索发现多边形内有一个钉子的规律

谈话：请同学们先算一算多边形的面积，并记录下每个图形边上的钉子数，然后观察表格中的数据，最后把你们的发现记录在探究单1中。

（投影展示学生的探究单）

生1：图形的面积是边上钉子数的一半。

生2：图形边上的钉子数越多，面积就越大。

师：刚才几位同学用不同的语言，表述了自己的发现，其实他们都在表达一个意思，多边形的面积等于边上的钉子数除以2。如果用字母S表示多边形的面积，用字母N表示多边形边上的钉子数，那S等于？（板书）

【思考：本环节让学生经历探索和发现规律的一般过程，积累数学活动经验，让学生在自主归纳发现规律的同时，增强学好数学的自信心，也为下面探索多边形内有多个钉子的规律打下基础。】

活动二：探究发现多边形的面积和多边形内的钉子数有关

1.学生在钉子板上围多边形

谈话：通过对钉子板上这四个图形研究，我们有了这样的发现。（指着公式）那这一发现是否适用于钉子板上的其他图形呢？这是我们的发现，有发现就要有验证。如何验证？

生：先在钉子板上围几个图形，然后数出图形边上的钉子数，算出它的面积，再用钉子数除以2看是否等于它的面积。

师：你的思路真清晰！就按你说的，让我们在钉子板再围几个图形，验证一下。谁先来围一个？

师：注意在他围的过程中，请数出图形边上的钉子数。

学生在大钉子板上任意围4个多边形，数出图形边上的钉子数，并用S=N÷2算出面积。（板书）

师：那他们的面积是不是这样呢？我们用原来的方法数数看。（板书）

生1：并不是所有的图形都是由它边上的钉子数来确定的。

师：谁听懂了？

生2：S不一定等于N除以2。

师：是不是这样？在大家围的图形中，有些符合我们刚才发现的规律，有的不符合。那究竟什么样的图形，可以用S=N÷2来计算它的面积呢？让我们继续研究。

2.明确多边形的面积还和多边形内的钉子数有关

谈话：这是我们刚才研究的四个图形，符合我们刚才发现的规律，张老师还收集了一些不符合规律的图形。观察这两组图形，他们有什么不同点吗？

生1：第一组图形里面钉子数只有1个。

生2：第一组图形里钉子数只有1个，第二组图形里钉子数就不一样了。

师：你们发现了吗？第一组图形内的钉子数都是1。这个发现太重要了，掌声送给刚才三位同学。看来，要使这个发现成立，还需要加一个什么前提条件？

生：多边形里面的钉子数是1时。

师：是的，我们还要知道多边形内的钉子数。（板书）

谈话：如果用A表示这个量，当A等于多少时，S=N÷2。（板书）

【思考：学生动手围图形，数出图形边上的钉子数，力图验证刚才一环节得出的结论。此时让学生用“数方格”的方法数出图形的面积，制造认知上的矛盾冲突，学生产生一个大大的疑问：“究竟什么样的图形才符合刚才发现的规律？”进而通过两组图形的观察、比较，发现要使得规律成立得加一个前提条件。这一环节，在制造矛盾冲突的过程中造成认知的不平衡，再次激发学生“刨根问底”的探究欲望，完善规律。】

活动三：中间有两枚钉子

过渡：研究到这里，我们明确了多边形的面积不仅和多边形边上的钉子数有关，还和多边形内的钉子数有关。那像第二组这样（指着第二组图形），图形内的钉子数为2、3、4……时，图形的面积和边上的钉子数有怎样的关系呢？我们继续研究，从A=2时开始。

师：请同学们同桌合作完成探究单2。

学生汇报表格中数据。

师：有和他数据不一样的吗？谁来说说你的发现？

生1：当A等于2时，S等于N除以2加1。

生2：当A等于2时，S不等于N除以2。

师：老师把你们发现记下来。当A=2时，S=N÷2+1。那这个式子表示什么意思呢？

生：当多边形内有两枚钉子时，多边形的面积等于边上的钉子数除以2加1。

【思考：这一环节，学生再一次亲历观察探索发现的过程，积累数学活动经验。同时，在合作的过程中，鼓励学生用自己的语言和数学语言正确地表达他们发现的规律。】

活动四：中间有三枚、四枚钉子

过渡：当A等于2时，我们又有了这样的发现。那接下来，A等于3，A等于4，你有什么猜想吗？谁来大胆地猜猜看。

生：我觉得A等于3，S=N÷2+2;A等于4，S=N÷2+3

师：老师将你的猜想记下来。（板书）这是我们的猜想，是否正确呢？有猜想就要有？

生：验证。

师：这一次我们小组合作。一、二两大排验证A等于3时的情况，三、四两大排验证A等于4时的情况。请每位同学在钉子板上围一个图形，数出图形边上的钉子数然后把数据汇报给组长，请组长把数据记录在探究单3上。

小组合作，验证猜想，完成探究单3。

展示学生探究单。学生汇报发现。

师：我们已经验证了我们的猜想是正确的。那当A=10时S等于？A等于100呢？照这样推想下去，无论A等于几，你能用一个公式来表示多边形的面积吗？

【思考：学生利用得出的认知规律进行类似图形的猜想、自主验证，进而归纳出所有认知规律的共性特征，得到一般性的结论。这一环节帮助学生积累由特殊到一般、寻找规律的数学经验，有利于发展学生的观察、比较、推理、归纳等逻辑思维能力。】

（作者单位：江苏省南通市城中小学）