重视函数概念教学 培养学生数学能力

提要：函数概念是数学的核心概念，在数学中具有重要地位。在函数概念的学习中，老师一定要让学生既能领会对应法则、定义域、值域之间相互制约的关系，又能够灵活进行符号语言与图形语言的转换，还要学会运用数形结合的思维进行运算。只有这样，才能真正抽象地、动态地、整体地认识研究函数，才能有效培养学生的数学能力。

关键词：函数；概念；教学；数学；能力

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1672-1578（2013）12-0169-02

函数是中学数学的核心内容，是许多数学知识内在联系的结点。函数概念是数学的核心概念，在数学中具有重要地位。从中学数学知识的组织结构看，函数既是代数的"纽带"，它联结着代数式、方程、不等式、数列、排列组合、极限和微积分等知识，同时它又是几何问题解决的有效工具，许多几何问题我们可以利用函数知识，运用数形结合思想进行有效解决。因此，函数的学习非常重要。为了更好地帮助学生系统地掌握函数知识，形成函数数学思想方法，教学中应充分重视函数概念的学习。

1.深化函数概念学习，明确函数学习要求

函数概念系统复杂，它涉及许多子概念：映射、非空数集、变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则等；同时函数概念的表达又具有多样性，一方面函数中的定义域、值域，可以用集合、区间、不等式等不同形式表示；另一方面它又有图像、表格、对应、解析式等多种表示方法，并且每一种表示方式既可以独立，又具有密切联系，常常需要进行转换。因此，学生要准确理解函数概念很不容易。

教学中，老师一定要引导学生了解函数概念的形成过程，准确理解"变量"概念，重视不同表示方式之间的转换以及运用函数概念解答实际问题；要让学生在概念学习中，不但能领会对应法则、定义域、值域之间相互制约的关系，而且能够灵活进行符号语言与图形语言的转换，学会运用数形结合的思维进行运算。只有这样，才能真正抽象地、动态地、相互联系地、整体地认识研究函数。对中学生来说，函数概念学习的要求是：

1.1 准确理解函数概念，明确函数三要素的作用，能正确理解函数与其反函数的关系。

1.2 系统掌握求函数定义域、值域、解析式、反函数的基本方法，能灵活运用换元、待定系数法、数形转换等数学思想方法解决问题。

1.3 通过对分段定义函数、复合函数、抽象函数等的认识，深刻认识函数关系的本质，进一步树立运动变化，相互联系、制约的函数思想。

对此，在函数学习中，首先要帮助学生克服"函数就是解析式"的片面认识，真正明确函数的对应法则和定义域都包含着对函数关系的制约作用。在做有关函数概念型题目时，要对确定函数三要素的类型、方法进行系统梳理，这样才能进一步为函数的综合运用打好基础。

2.熟悉函数概念型问题，掌握常用解题思路和方法

函数是对应法则、定义域、值域的统一体，有关函数概念型问题多与其有关，因此掌握确定函数三要素的基本类型和方法是学习好函数概念的基本要求。

2.1 求函数定义域的基本类型和常用方法。给定函数解析式求其定义域是常见题型，这类问题实际上是求使给定式有意义的x的取值范围，它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。这里尤其要注意复合函数定义域求法：若已知f（x）的定义域为[a，b]，其复合函数f[g（x）]的定义域由不等式a≤g（x）≤b解出即可；若已知f[g（x）]的定义域为[a，b]，求 f（x）的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g（x）的值域（即 f（x）的定义域）

例1，已知函数 定义域为（0，2），求下列函数的定义域：

分析：x的函数f（x2）是由u=x2与f（u）这两个函数复合而成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f（x），f（u）是同一个函数，故（1）为已知0

解：（1）由0

本例（1）求函数定义域，关键在于理解复合函数的意义，用好换元法，即不给出f（x）的解析式，由f（x）的定义域求函数f[g（x）]的定义域。例（2）则是两种类型的综合。求函数定义域，还有第三种类型就是一些数学问题或实际问题中产生的函数关系，求其定义域，这类问题就要根据实际情况进行界定了。

2.2 求函数值域的基本类型和常用方法。

函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，其类型依解析式的特点分可分三类：（1）求常见函数值域，如求函数f（x）=1x-2的值域；（2）求由常见函数复合而成的函数的值域，如求函数的值域；（3）求由常见函数作某些"运算"而得函数的值域，如求函数的值域。在此不作详解。

2.3 求函数解析式的类型和方法。

例2.已知xy

分析： 4x2-9y2=36在解析几何中表示双曲线的方程，仅此当然不能确定一个函数关系y=f（x），但加上条件xy

所以

因此能确定一个函数关系y=f（x），其定义域为（-∞，-3）∪（3，+∞），且不难得到其值域为（-∞，0）∪（0，+∞）。

本例从某种程度上揭示了函数与解析几何中方程的内在联系。任何一个函数的解析式都可看作一个方程，在一定条件下，方程也可转化为表示函数的解析式。求函数解析式还有两类问题：

（1）求常见函数的解析式。由于常见函数（一次函数，二次函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数及反三角函数）的解析式的结构形式是确定的，故可用待定系数法确定其解析式。

（2）从生产、生活中产生的函数关系的确定。这要把有关学科知识，生活经验与函数概念结合起来，在此不再举例说明。

2.4 厘清反函数与函数的关系，深化对函数概念的认识。

对于反函数，应掌握以下一些结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；（5） y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数，设f（x）的定义域为A，值域为B，则有f[f-1（x）]=x（x∈B），f-1[f（x）]=x（x∈A）.

例3.下列函数中，不存在反函数的是（ ）

分析：处理本题有多种思路，如分别求所给各函数的反函数，过程繁琐，费时多，如是考试，不合算。从概念看，这里应判断对于给出函数值域内的任意值，依据相应的对应法则，是否在其定义域内都只有惟一确定的值与之对应，因此可作出给定函数的图象，用数形结合法作判断，这是常用方法。此题作为选择题还可采用估算的方法。对于D，y=3是其值域内一个值，但若y=3，则可能x=2（2>1），也可能x=-1（-1≤-1）。依据概念，则易得出D中函数不存在反函数。其实不论采取什么思路，理解和运用函数与其反函数的关系是解决问题的关键。

总之，函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一。在实际教学中，尽管教材编者进行了分段、分层次地安排函数知识，老师们能针对函数概念的特点和学生认知规律，进行循环往复、螺旋上升的教学，但学生对函数概念的理解还是不很理想，因此教学中还需对学生进行认识论、方法论等哲学层面指导，这样，才能更有助于他们深入地掌握好函数概念。

参考文献

[1] 章建跃. 数学学习论与学习指导. 北京：人民教育出版社， 2001.

[2] 中学数学课程教材研究开发中心. 普通高中课程标准实验教科书・数学4. 北京：人民教育出版社， 2007.

[3] 李善良. 关于数学教学中问题的设计 高中数学教与学 2008.1