玩转转化思想

【前言】玩转转化思想由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。评注：若考虑用判别式法去解决问题，则比较烦琐，然而用特殊情形来化解问题就非常简单了. 例2 如图1，在矩形ABCD中，AB= ，BC=2，点E是BC的中点，点F在边CD上，若 ・ = ，则 ・ 的值是__________. 分析：根据已知条件，很容易建立平面直角坐标系，设A（0，0），B（ ，...

数学思想方法是联系知识与能力的纽带，是数学解题的指导思想，是数学的灵魂. 而转化思想方法又是数学思想的核心和精髓. 数学转化简单地说就是把问题从一种形式向另一种形式转化，它可以从文字描述向图形转化，或从复杂的问题转化成简单的问题等. 下面结合若干高考题，例说转化思想方法的应用.

将复杂问题转化为简单问题

将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据. 这里的简单，有时还指问题的处理方式或解决方案上的简单.

例1 已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）<c的解集为（m，m+6），则实数c的值为__________.

分析：因为f（x）=x2+ax+b的值域为[0，+∞），且a，b∈R，所以不妨令a=b=0，则f（x）=x2，此时若关于x的不等式f（x）<c的解集为（m，m+6），易知c=9.

评注：若考虑用判别式法去解决问题，则比较烦琐，然而用特殊情形来化解问题就非常简单了.

例2 如图1，在矩形ABCD中，AB= ，BC=2，点E是BC的中点，点F在边CD上，若 ・ = ，则 ・ 的值是__________.

分析：根据已知条件，很容易建立平面直角坐标系，设A（0，0），B（ ，0），E（ ，1），F（t，2），由 ・ = ，求得t=1，再由 ・ 求得结果为 .

评注：通过解析法，使问题以及运算都变得十分简单了.

将数的问题转化为形来考虑

数与形的互相转化也就是我们平时所说的数形结合思想，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性. 通过数形结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.

例3 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，若直线y=kx-2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为________.

分析：考虑两个圆的位置关系，由题设可知两圆应外切，然后利用圆C的圆心（4，0）到直线y=kx-2的距离为2，就可求得k的最大值为 .

评注：许多同学可能没有考虑到两个圆的位置关系这个实质，而百思不得其解.

例4 若正数a，b，c满足5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则 的取值范围是__________.

分析：由已知，5c-3a≤b，b≤4c-a，clnb≥a+clnc 5-3 ≤ ， ≤4- ，ln ≥ ，设x= ，y= ，z= ，则原题目转化为：已知x，y满足条件3x+y≥5，x+y≤4，y≥ex，x>0，y>0，求z= 的取值范围.

再利用线性规划以及导数知识就可求得 的取值范围是[e，7].

评注：在解题的思维过程中，要不断实施数学语言的转换，把题目中的最本质的数量关系揭示出来，充分利用数形结合的思想方法来解题.

将陌生问题转化为熟悉问题

将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决.

例5 如图2，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米. 某炮位于坐标原点. 已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx- （1+k2）x2（k>0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关. 炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程;

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

图2

分析：解决此题的关键在于，首先要读懂文字说明，再将其翻译成数学语言，准确建立数学模型，再利用熟悉的基本不等式和二次方程的判别式进行解答. 第（1）问，因为炮的射程是指炮弹落地点的横坐标，求炮的最大射程就是当轨迹方程y=kx- （1+k2）x2（k>0）中的纵坐标y=0时，横坐标x=f（k）（k>0）的最大值. 第（2）问，就是当纵坐标y=3.2时，关于k的方程3.2=ka- （1+k2）a2（k>0）成立时横坐标a的取值范围.

解：（1）在y=kx- （1+k2）x2（k>0）中，令y=0，得kx- （1+k2）x2=0. 由实际意义和题设条件知x>0，k>0，所以x= = ≤ =10（当且仅当k=1时取等号）. 所以炮的最大射程是10千米.

（2）因为a>0，所以炮弹可以击中目标等价于存在k>0，使ka- （1+k2）・a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2-20ak+a2+64=0有正根. 由Δ=（-20a）2-4a2（a2+64）≥0，得a≤6. 此时，k= >0（不考虑另一根）. 所以当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标.

将不和谐的转化为和谐统一的

通过转化问题的条件或结论，使其表现形式更加和谐与统一，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.

例6 在ABC中，已知 ・ =3 ・ .

（1）求证：tanB=3tanA;

（2）若cosC= ，求A的值.

分析：（1）由平面向量的数量积公式将 ・ =3 ・ 展开，得到边角之间的关系cbcosA=3cacosB，将c消去，再由正弦定理统一为角的关系，得sinBcosA=3sinAcosB，即tanB=3tanA.

（2）先由cosC= ，求得sinC= ，所以tanC=2;再由三角形内角和定理知tanB=-tan（A+C），代入tanB=3tanA展开，解三角方程可求得tanA=1，所以A= .

评注：解决本题的关键是将题目中的元素统一，条件和结论统一. 简单地说就是消去不要的，保留已知的和要求的. 这种简单的思维方式，它充分体现了转化过程中的和谐与统一.

将正面问题转化为反面问题

当正面讨论问题遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.

例7 已知各项均为正数的两个数列{an}和{bn}满足：an+1= ，n∈N*.

（1）设bn+1=1+ ，n∈N*，求证：数列 2是等差数列;

（2）设bn+1= ・ ，n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值.

解：（1）因为bn+1=1+ ，所以an+1= = ，所以 = . 所以 2- 2=1（n∈N*）. 所以数列 2是以1为公差的等差数列.

（2）因为an>0，bn>0，所以可得 ≤a +b <（an+bn）2，所以1<an+1= ≤ . （ ）

设等比数列{an}的公比为q，由an>0知q>0，下面用反证法证明q=1.

若q>1，则a1= <a2≤ ，所以当n>logq 时，an+1=a1qn> ，与（ ）矛盾.

若0<q<1，则a1= >a2>1，所以当n>logq 时，an+1=a1qn<1，与（*）矛盾.

综上所述，q=1. 所以an=a1（n∈N*），所以1<a1≤ .

又因为bn+1= ・ = ・b （n∈N*），所以{bn}是公比为 的等比数列.

若a1≠ ，则 >1，于是b1<b2<b3，又由an+1= ，即a1= ，得bn= ，所以b1，b2，b3中至少有两项相同，与b1<b2<b3矛盾. 所以a1= . 所以bn= = . 所以a1=b1= .

评注：本题的第2问运用了反证法.在分析和解决问题的过程中，人们往往不注意逆向思维，从而导致了问题的复杂化，所以我们应当重视逆向思维的意识和运用.

总之，在数学问题中，运用“转化”思维方法解题的例子比比皆是，转化的思想方法融汇和贯穿于解题的始终，而解题的过程实质就是不断转化的过程.