集合――数学的基石

集合是进入高中学习数学的第一部分知识,对于集合知识的掌握,是学习高中数学的基本手段以及在以后的学习中研究数学其他问题的一个重要工具。“路漫漫其修远兮,吾将上下而求索”――集合,作为进入高等学习和研究的最基本工具,这就要求我们不仅要研究它之外,还有必要了解一些它的发展史,这样更有利于我们现在的学习以及以后研究其他相关领域。在高等数学中,集合论是专门研究集合的数学理论的一门学科。

一、集合的产生不是偶然的,是必然的

从原始社会的狩猎开始,人们就有意识地把自己最原始的生活生产与集合联系在一起了。当在外狩猎了一天的男人们将自己的战利品带回部落时,他们会把野兔、野鸡等肉食分在一起,而把一些野果、野菜分到一起。从这里,我们可以隐隐约约地看到集合的萌芽了。虽然这些只知道维持自己生活的原始人并不知道什么是集合,但他们的这种分类方法在我们现在看来还是具有一定的集合思想的。几千年以后,1874年,德国著名的数学家康托尔开始提出“集合”的概念――把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来,看作一个整体,就称为一个集合,其中各事物称为该集合的元素。

二、集合的发展――研究的道路上充满了陷阱

如果把现代数学比作一座无比辉煌的大厦,那么可以说集合论正是构成这座大厦的基石。

集合论的创始人――康托尔,因其集合论的成就被誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。他引入了集合论中有关基数的概念,并且定义了聚点、闭集、开集等概念。

18世纪初,正当数学家们处在集合论带给数学的进步时,他们认为有了集合论这块基石,辉煌的数学大厦就可以巍峨地矗立起来了。殊不知,第三次数学危机已悄然而至。1902年,英国著名数学家罗素写了一则有关理发师的笑话,这位理发师夸下海口:“我给镇上所有不给自己刮胡子的人刮胡子,而且只给这样的人刮胡子”――这就是数学史上著名的“理发师悖论”正如现在的经济危机带给世界经济的不仅是更残酷经济的竞争,而是国与国之间更加密切的交流与合作一样,第三次数学危机带给数学家们的不仅是种种未知的陷阱,而正是这些叵测的未知,让数学家们更有勇往直前的科学精神。经过几十年的努力,终于建立了公理化的集合论,至此,更进一步完美了集合论的理论。

三、集合的巨大作用

前面提到过“集合是数学的基石”,这句话终究从何谈起呢?二十世纪,一群法国数学家――尼古拉・布尔巴基学派,希望在集合论发展的基础上,用公理化的方法重新构造整个现代数学。布尔巴基学派认为,数学是一门研究集合以及作用在集合上的映射的一门学科,且具有三种基本的抽象结构――代数结构、序结构、拓扑结构。我们从一开始就接触到的1,2,3,4,5到初中的几何,再到高中的算法,乃至大学阶段所学的泛函,都无一例外地使研究集合以及其映射的。集合论的发展,更为数学的发展拉开了崭新的一幕。

集合已经渗透到数学的各个学科,对当今的数学发展起了重大的作用,作为高中生,也应该和有必要熟悉这一领域的发展动态。

作者单位:徐州师范大学数学科学学院