关于近世代数的几点教学体会

摘要：近世代数是大学本科数学专业的一门专业必修课，主要讲授群、环、域的基本概念和相关理论。作为高等代数的后继课程，在很大程度上依赖于高等代数的基础理论和逻辑思维能力，却又比高等代数理论抽象得多。作者根据自身教学经验从教学内容、教学方法和教学手段三方面进行了论述。

关键词：近世代数；群；环；域

中图分类号：G642.4 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）16-0205-02

近世代数是我校数学与应用数学专业的专业必修课，该课程概念众多，理论知识多以证明为主，具有高度的抽象性，对于集体授课而言，学生很难掌握。近些年来，国内众多研究者开始运用近世代数的理论知识来解决科学研究问题，这些愈来愈突发出近世代数这门课程的重要性。因此，对于高等学校讲授近世代数这门课程的教师而言，更加需认真思考如何更好地讲授这门课程。

一、教学内容

在我校，近世代数作为数学与应用数学专业的一门专业必修课，安排在第二学期开设，共54学时，参考教材是杨子胥编写的《近世代数》。为了让学生更多地了解近世代数这门课程，同时又不对其缺乏兴趣，我校对近世代数这门课程作如下安排：

第一章：基本概念，分配8学时；第二章：群，分配16学时，其中群在集合上的作用因课时关系不讲；第三章：正规子群和群的同态、同构，分配8学时，其中群的同构定理和Sylow定理因课时关系不讲，留给学生自行阅读。第四章：环与域，分配18学时，其中非交换环因课时关系，仅留学生课后阅读；第五章：唯一分解整环，分配4学时，其中欧氏环、唯一分解整环的多项式扩张因课时关系不讲。

在教学内容上，注重与高等代数知识的关联性。如讲授唯一分解多项式时，可以认为高等代数中讲授的不可约多项式是本门课中的一个特例，也可以认为近世代数所给的结论是高等代数所给结论的推广。

二、教学与教学手段

随着科学技术的发展，多媒体技术已不断走进课堂。近世代数作为一门数学专业的专业课程，很多教师在讲授时会利用传统的教法，即板书去教学。我校在讲授近世代数时是利用投影仪、PPT以及板书相结合的形式教学的。这样在教学中会有很多的好处：第一，省去了大量写定义和定理内容的时间；第二，如果需要讲授名人传记或者显示彼此关系时，PPT会更加直观；第三，对于人数较多的大班集体授课时，PPT显示会更加清晰，使得讲解更加生动，从而提高课堂效果和学生对课堂内容的理解。

个人认为，学好一门课程，最好的动力就是兴趣。然而并不是所有数学专业的学生都对数学感兴趣，而且我校数学与应用数学专业的学生大多是调剂而来的，他们并非都喜欢数学。因此培养学生对近世代数这门课程的兴趣就尤为重要。在讲授第一章基本概念时，教师会运用更多生活中的实例来讲解概念；在讲授第二章群时，教师会首先给学生讲两位数学家，一位是N.H.Abel，一位是E.Galois。大概会利用十分钟的时间来讲一讲两位数学家的传奇人生，这虽然占据了一定的课堂时间，但是会引起学生们的兴趣，想知道什么是群，取得事半功倍的效果。在讲授Cayley定理时，教师会讲一讲关于A.Cayley的数学工作，这样学生不但记住了A.Cayley定理，更激发了学生的学习动力。

近世代数关于定义和定理的证明特别多，我校P于近世代数授课只有54学时，而且随着学校发展的转型，近世代数课程会减为48学时。因课时有限，不可能全部定义和定理都讲，教师会选取合适难度的定义和定理给学生讲解。在讲授定义和定理证明时，教师会把主要结果显示在PPT中，而定理证明的过程全部用板书的形式演示。通过几年的观察发现把主要结果显示在PPT中，教师用板书把定理的证明逐步逐条地演示出来效果非常好，因为学生会一直清楚自己在证明什么结果，这样能够时刻吸引学生的注意力，有利于学生对知识的掌握。同时在讲授定义和定理结束后，教师会尽可能的找一些具体例子验证结果的成立性。如讲授群的定义后会直接验证整数集合关于普通加法作成一个群，同时指出0是左单位元是固定的元素，任意元素a的左逆元为-a，会随着a的变化而变化。讲授正规子群后会直接验证：由5的倍数的全体集合作成整数加群的正规子群，同时让学生写出两者所生成的商群；关于商群，大家通过概念知道是群G关于正规子群N的互异陪集的集合，但真正去写出商群，对于初学者还是很困难的，因此教师会教给学生如何去写。

在讲授近世代数过程中，有很多定理、推论的地方书中都没有给予证明，教师会对其中重要的理论在课上给予证明，而其他学生感兴趣的理论教师会在自习课上讲解。教师会在教学中让学生思考：如果命题中少了一个条件，结论还会成立吗？让学生学会举一反三。如在讲解群的定义时会让学生思考：如果把定义中的左单位元改成右单位元，其他条件不变还和原定义等价吗？以及把定义中左单位元改成右单位元，其他条件不变还和原定义等价吗？课上会用例子告诉学生这是不可以的。

每节课，教师都会给学生布置一定量的作业，下一节课会指定学生来讲，这样学生会对相关问题了解得更加透彻。因为只有学生亲自计算过，证明过，演示过，才能掌握。只听不做、只看不想是无法学好数学的。做一定量的作业不但让学生加深了印象，而且有助于师范生掌握教学技巧，得到一定的锻炼。

随着学校向应用型大学转型，近世代数课程也需要在教学内容、教材和教法上作出改变。通过调查研究发现近世代数中的理论在很多实际问题中如数字通信的可靠性和保密性问题中都有广泛的应用。因此借助于学校转型的机遇，教师会思考如何将近世代数课程转变为应用型课程。

三、结束语

近世代数是一门十分抽象的数学课程，如何让学生热爱近世代数，喜欢学习近世代数，是每一位老师都应该认真思考的永恒课题。总之，讲好一门课需要每一位教师不断地去思考，不断地去实践和总结。

参考文献：

[1]杨子胥.近世代数[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]张禾瑞.近世代数基础[M].北京：高等教育出版社，1978.

[3]石生明.近世代数初步[M].北京：高等教育出版社，2002.