极限实例模型与未定式极限

极限理论是微积分的基础，极限思想是微积分教学过程中的难点.本文在数学应用性教学的背景下，根据极限的未定式类型，对极限的实例模型进行了归纳总结.在大量的极限模型中，体现极限思想的关于无限变化趋势的实例非常多，经典例子如：庄子之锤、芝诺悖论、刘辉割圆术，现代例子如金属加热、室内水温、人口预测、传染病人数、放射物衰减等.在基于描述性定义的极限理论中，极限首先分数列极限和函数极限.从应用性角度讲，数列极限更利于实际应用，所以有很多关于数列极限的模型，特别是等比数列和由递推公式给定的数列，如蛛网价格、买三送一商业促销、福利支出、销售量稳定性等.这类模型的极限形式基本上是和式极限，也常用单调有界原理来求解其极限.

数列极限和函数极限体现了离散和连续的关系，两者在分类和方法上可以统一.数列极限可视为特殊的函数极限.一般地，在教学过程中，函数极限主要用以处理七种未定式极限，本文根据该分类对极限模型进行比较分析和总结.

一、比值类型00，∞∞

在很多实际问题中，常考虑自变量趋向于无穷时函数的稳定性，或从长远角度分析函数值的变化，而这些极限往往属于∞∞的比值类型极限.如实例模型：

1）药物注射后的血液中的药物浓度随时间变化函数C（t）=0.2tt2+1，其中时间t（小时）， 浓度C（t）（mg/cm3），随着时间推移，血液中浓度稳定水平即为limt∞C（t）=limt∞0.2tt2+1=0.

2）票房收入C（t） （百万）随时间t（月）的函数为T（x）=120x2x2+4，于是票房总收入即时间趋向于无穷时的极限值，即limt∞T（x）=limx∞120x2x2+4=120.

3）逆流而上的游鱼的耗能函数为E（v）=aLv3v-u，鱼速v，路程L，水流u，与实际生活一致，鱼速有两个无限耗能情形如limvu+E（v）=∞，limv∞E（v）=∞.

以上三例是∞∞的极限类型，而00类型的极限，常分析自变量无限接近某个点时的函数值的变化趋势，函数的导数、物理中瞬时速度、曲线切线斜率、经济学中边际与弹性就是这类模型的典型实例.一般教材在引入导数时，都应用两个有重要意义的实例，用平均速度无限接近瞬时速度，用割线斜率无限接近切线斜率.

4）瞬时速度：

v（t0）=limtt0v（t）=limtt0s（t）-s（t0）t-t0，

5）切线斜率：

k（x0）=limxx0k（x）=limxx0f（x）-f（x0）x-x0.

二、积与差类型

从数学形式上说，七种未定式可以相互转化.积与差的未定式可以由上面的比值类型换个看法即可得.但要体现数学应用性，从实际函数模型上讲，最好能说明原始的函数模型就更能体现极限的分类形式.0・∞形式，说明目标函数中两个因子随自变量的某个无限变化过程时相互抑制，理论上讲，要构造符合此种无限变化的目标函数比较容易.如对护城河治理模型合理构造得到如下0・∞类型极限.

6）在城市发展过程中，某城市从某年开始注重对护城河的治理，初始污泥量为A，因治理水平提高，污泥量每年减少到90%，另外由于城市扩张，第n年又是前一年的nn-1倍，则第n年的污泥量为Sn=A・0.9n・ni=2ii-1=A・0.9n・n.当n∞时，0.9n0，所以Sn的变化趋势属于0・∞，最终的稳定量水平即分析极限limn∞Sn=limn∞A・0.9n・n=0.

对于∞-∞极限类型，要求目标函数是同类型的两项，随自变量的某个无限变化过程而趋向无穷，从而分析两者之间的差距的稳定性.如：

7）产品利润问题：若产量为x时的成本为C（x）=10+1+x2，售价5美元，则产量为x时，增加单位产量的利润增长额为I（x）=5+1+x2-1+（1+x）2，当产量无限增长时，利润增长额是否会达到一个稳定值，即分析极限

limx+∞I（x）=limx+∞[5+1+x2-1+（1+x）2]=4.

三、幂指类型1∞，00，∞0

极限理论中，极限limn∞（1+1n）n=e称重要极限，该极限可视为关于n的幂指函数，其它属于1∞类型的极限，都可以通过变形成该重要极限来求解.学生在学习此类极限时，难于理解其未定性，受1的任何次幂仍为1的结论影响，并没意识到自变量在1附近的变化时，对极限值的影响是很大的.在幂指函数的极限实例模型中，1∞是最为常见的，典型的有连续复利的计算，人口预测等.有如下模型：

8）CO2的吸收模型：空气通过盛有吸收剂CO2的圆柱型器皿，已知吸收CO2的量与CO2的百分浓度及吸收层厚度成正比.通过极限的方式，该模型可以建立起空气中CO2的浓度关于厚度的函数关系，设初始空气含CO2浓度为a， 先将空气层分成n层，于是通过第n层后的浓度为cn=a（1-kdn）n，k为比例系数，再将吸收层无限细等分，即n∞，则有C（d）=limn∞cn=limn∞a（1-kdn）n=ae-kd.

对于00，∞0这样两种未定式，纯数学形式熟悉的有limn∞n1n=1，limx0+xsinx=1，对于这两种未定式，与1∞一样，容易仅考虑底数的无限变化，没有意识到指数的无限变化与底数相互抑制.在数学的实际应用中，目标函数是幂指函数比较少见，所以在一般教材和文献中该类型极限模型几乎没有出现，还有待于探索和构造.

利用极限实例模型进行极限理论的教学，体现数学应用性教学的思想，特别是基于描述性定义的极限概念，运用实例模型教学，可以提高学生对极限的直观理解和客观认识，是极限理论教学的有益补充.同样地，也可从极限模型建立的方法角度去探讨极限实例模型的类别，从而可以得到更多的有利于实践教学的实例模型.