“锐角三角函数”问题中的难点解析

【前言】“锐角三角函数”问题中的难点解析由文秘帮小编整理而成，但愿对你的学习工作带来帮助。AD-BD=AB，而AB=20， x-x=20，解得x=10+10. 10+10>10， 渔船继续向东追赶鱼群，没有进入危险区的可能. 同类问题：（2009・山东青岛）如图2，一艘轮船自西向东航行，在A处测得北偏东68.7°的方向上有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东...

1. 根据题意，准确构造直角三角形

例1 如图1，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东60°方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东45°的方向，已知以小岛C为中心，周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，若这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区的可能？

【解析】本题的关键在“如何判断这艘渔船是否有进入危险区的可能”，通过分析题意，可以发现：这艘渔船继续向东追赶鱼群的过程中，和小岛C有一个最近距离，通过计算最近距离与10海里危险区进行比较，进而得到判断：如果最近距离大于10海里，说明没有危险，反之，则有危险. 因此只需考虑小岛C到渔船航线的最近距离，进而添加辅助线，作CDAB，此时CD就是最近距离. 只要算出CD的大小，问题就解决了. CD被同时放在两个直角三角形中，利用AB=AD-BD列方程求解.

解：设CD=x，则可得BD=x.

在RtACD中，可得AD=x.

AD-BD=AB，而AB=20，

x-x=20，解得x=10+10.

10+10>10， 渔船继续向东追赶鱼群，没有进入危险区的可能.

同类问题：（2009・山东青岛）如图2，一艘轮船自西向东航行，在A处测得北偏东68.7°的方向上有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的北偏东26.5°方向上. 之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？（参考数据：cos68.7°=， tan68.7°=，cos26.5°=，tan26.5°=）

【解析】本题的关键在“如何理解距离小岛C最近”，通过分析题意，可以发现：这艘船继续向东航行的过程中，和小岛C有一个最近距离，作CDAB于D，此时CD就是最近距离. 但是本题的问题是：“轮船继续向东航行多少海里？”一些同学会误以为本题是求CD的大小而出错.

解答提示：利用直角三角形解决此类实际问题时，仔细审题很重要. 根据题意，通过添加辅助线，转化为直角三角形，从而解决问题.

2. 积累基本图形

例2 如图3所示，在ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=2，求ABC的面积.

【解析】在这个问题的解决过程中，同学们一看到题中有AB=2，就通常以AB为底，但高求不出来. 其实，本题中的图形是一基本图形，解决此类问题的前提是：一般情况下不破坏特殊角. 因此通常不经过B点或C点作高，而是经过A点作高，以BC为底.

解：AB=2，则可得BD=AD=. 在RtACD中，可得CD=.

变式：如图3所示，在ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=2，求ABC的面积.

【解析】方法类似上文，关键在于求高AD. 这个图形在有关锐角三角函数应用的题目中较为常见，很多的中考题都以这张图为原型，设计了很多新颖的题目.

同类问题：（2011・江苏苏州）如图4所示，已知ABC是面积为的等边三角形，ABC∽ADE，AB=2AD，∠BAD=45°，AC与DE相交于点F，则AEF的面积等于______. （结果保留根号）

【解析】这道题的失分率较高，主要原因在于同学们对这道题不知如何分析，很多同学没有认清这道题的本质. 其实，本题就是源于例2的基本图形，解决问题的方法类似于以上变式的解题方法. 如果同学们能够积累这些基本图形，对提高解决问题的能力有很大帮助.

【解答提示】积累并熟练掌握一类问题的基本图形，并形成解决此类问题的基本方法，对解决此类问题起到事半功倍的作用.

3. 注意计算的合理性和简便性

例3 （2009・贵州黔东南州）如图5，在某广场上空飘着一只气球P，A、B是地面上相距90米的两点，它们分别在气球的正西和正东，测得仰角∠PAB=45°，仰角∠PBA=30°，求气球P的高度. （精确到0.1米，=1.732）

【解析】本题的结果要求精确到0.1米，很多同学在结果的处理上失分明显，主要是计算出错，一部分同学因为没有达到精确要求而失分.

解：设PH=x，则可得AH=x.

在RtPBH中，可得HB=x.

x+x=90，解得x=.

对于接下来的计算，大部分同学主要用以下3种计算方式：

（1） 把=1.732直接代入计算.

（2） x===45（-1）=45-45，再把=1.732代入.

（3） x=45（-1）≈45×（1.732-1）=45×0.732=32.94≈32.9.

显然，第1种计算方式较复杂，增加了计算的难度，容易出错，应该先分母有理化，然后再代入计算；第2种和第3种计算比较，第3种计算方式较为简便：先计算-1≈0.732，再计算45×0.732，结果较为简单. 在计算中注意计算的合理性和简便性，可以减少计算出错.

在运用锐角三角函数解决问题的过程中，对基本概念的认识一定要清晰，对基本图形的掌握一定要深刻，对计算过程中的数据处理一定要体现计算的合理性和简便性，再加上同学们细心审题，相信一定能够突破“难点”，收获成功！

（作者单位：苏州工业园区星湾学校）