锐角三角函数常见错误全面解析

一、概念理解不透彻

例1 在RtABC中,各边的长度都扩大3倍,那么锐角A的三角函数值( ).

A.都扩大3倍B.都扩大4倍

C.不能确定D.没有变化

错解:A.

错因分析:三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值,三角形三边都扩大3倍后的三角形与原三角形相似,所以直角边与斜边或直角边与直角边的比值不变.错解没有真正理解三角函数的意义.

正解:D.

点拨:三角函数的值是直角边与斜边或直角边与直角边的比值,大小只与角的度数有关,与边的大小无关.

二、未能理解符号意义

例2 下列命题:①sinα表示角α与符号sin的乘积;②在ABC中,若∠C=90°,则c=αsinA成立;③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为().

A.②③B.①②③ C.② D.③

错解:B.

错因分析:sinα是一个数学符号,不能理解为是α与符号sin的乘积的关系.因此①错;在ABC中,若∠C=90°,则sinA=,c=,所以②不正确;所以只有③正确.

正解:D.

点拨:锐角三角函数符号是一种表示方法,不要认为是运算符号.

三、忽视分类讨论

例3 RtABC的两条边分别是6和8,求其最小角的正弦值.

错解:因为6和8是直角三角形的两边,所以斜边是10,所以最小角的正弦值是即.

错因分析:已知条件中并没有告诉6和8是两条直角边,所以本题应分两种情况:

(1)6和8是两条直角边;(2)6是直角边,8是斜边.错在忽视了第2种情况.

正解:当6和8是直角边时,斜边是10,所以最小角的正弦值;

当6是直角边,8是斜边时,则另一直角边是=2,最短边是2,所以最小角的正弦值为=.

综上可知,最小角的正弦值或.

点拨:在直角三角形中,给出两边,在没有说明是直角边或斜边的情况下,要分这两边是直角边与所给的长边是斜边两种情况来讨论.

四、主观臆断

例4在RtABC中,∠C=90°,AB=4,BC=2,则sin=_______.

错解: 因为sinA===,所以sin=.

错因分析:本题错在将∠A一半的正弦值看作是∠A的正弦值的一半.实际上, 它们是不相等的.如sin90°=1,而sin45°=.本题正确的解法是先求出∠A的度数,然后再求其正弦值.

正解:因为sinA===,所以∠A=60°,所以=30°,所以sin= .

点拨: 求一个角一半的三角函数值,应先求出这个角的度数,然后再求其三角函数值,一定不能用三角函数值的一半作为角一半的三角函数值.

五、特殊角的三角函数值变换不清

例5 锐角α满足

A.30°

C.45°

错解:A.

错因分析:正弦值与正切值都随度数的增大而增大,而余弦值是随度数的增大而减小(在锐角范围内).本题错在没有准确掌握特殊角的三角函数,将特殊角的三角函数值张冠李戴,混淆了锐角的正弦值、余弦值的变化规律.

正解: cos60°=,cos45°=,

又cos60°

45°

点拨:在锐角范围内,正弦与正切可以看成是单调递增函数,即度数大三角函数值就大;而余弦正好相反.

六、忽视锐角三角函数值的范围

例6 已知α为锐角4tan2α-3=0,求tanα.

错解:因为4tan2α-3=0,所以tan2α=,两边同时开方得tanα=± .

所以tanα=± .

错因分析:锐角三角函数等于相应直角三角形边的比,所以tanα>0.

正解:因为4tan2α-3=0,所以tan2α=,两边同时开方得tanα=± ,因为tanα>0,所以tanα= .

点拨:锐角三角函数值的都是正数,在求解时不要忘记.

七、仰角、俯角概念不清

例7 如图1,直升机在长江大桥AB上方P点处,此时飞机离地面高度为am,且A、B、O三点在一条直线上,测得点A俯角为α,点B的俯角为β,求长江大桥AB的长度.

错解:在RtAOP中 ,tan∠APO=,

∠APO=α,

OA=OP•tanα.

在RtBPO中,∠BPO= β .

tan∠BPO= ,

OB=OP•tan∠BPO .

AB=OA-OB=OP(tanα-tan β)

=a(tanα-tan β).

错因分析:俯角与仰角都是指水平线与视线所成的角,一个指向下看,一个往上看.本题错在把从P点观测A点的俯角误认为∠APO,从P点观测B点的俯角误认为∠BPO,只有弄清俯角才能避免该错误.

正解:根据题意得∠CPA=α,∠BPC= β,

∠PAO=α,∠PBO= β .

在RtPOA中,

cot∠PAO=,OA=OP•cotα .

在RtPOB中,

cot∠PAO=,OB=OP•cot β .

AB=OA-OB=OP•cotα-OP•cot β

=OP(cotα-cot β )

=a(cotα-cot β ).

点拨:弄清俯角与仰角是解决观测问题的关键.

八、忽视三角函数是应用在直角三角形中

例8 已知等腰ABC中,AB=AC=10, BC=12.求sin∠ACB的值.

错解:因为AC=10,BC=12,所以sin∠ACB==

=.

错因分析:本题错在没有理解锐角三角形函数所使用的范围.只有在直角三角形中,才能根据锐角的三角函数定义求值.解决本题可作高,构成直角三角形来求解.

正解:如图2,作ADBC于D,因为AB=AC=10,BC=12,所以BD=CD=6.

在RtABD中,AD===8 ,所以sin∠ACB===.

点拨: 当已知条件为非直角三角形时,不能用对边比邻边直接求三角函数值,而应构造直角三角形后根据定义求值.

例9 已知ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别a、b、c,且a=17,b=15,c=8,求sin∠B.

错解:根据锐角三角函数的定义知sin∠B== .

错因分析:要求∠B的正弦值,需要先确定ABC是否是直角三角形,如果是,要先确定出直角和∠B的对边,然后再利用定义求解.

正解: 因为b2+c2=a2,所以ABC为直角三角形且∠A=90°,所以sin∠B== .

点拨:当已知三角形的三边,求某一锐角的三角函数值,要先确定三角形是否为直角三角形,然后再根据锐角三角函数的定义求解.