0,w>0)的图像和性质的探讨'> 关于正弦型函数y=Asin(wx+φ)(A>0,w>0)的图像和性质的探讨

摘要：正弦型函数在物理学上具有广泛应用，也是数学中的一个重点和难点。研究正弦型函数性质就要熟练掌握其图像，了解其变化规律。针对职高学生基础差，理解能力低的特点，结合笔者多年来的教学经验对正弦型函数的图像和性质做一些探讨，方便教学。

关键词：正弦型函数；图像；性质；探讨

中国分类号：O174

正弦型函数的图像和性质，分别从数和形的两个不同侧面反映了其变化规律，它们之间是密切联系的。函数的定义域和值域，反映在图像上是曲线在坐标平面的展开范围；函数的单调性反映在图像上是曲线的上升和下降情况；函数的周期性，反映在图像上是曲线有规律的重复出现；函数的奇偶性，反映在图像上是曲线关于原点和y轴的对称性；函数的最大值和最小值反映在图像上是曲线的最高点和最低点。其在物理学上具有广泛应用，也是数学中的一个重点和难点，职高学生基础差，接受起来更是难以理解，鉴于此笔者在教学中总结了以下几点，或许能给学习者带来点帮助。

一、基础知识

1、函数y=Asin（wx+φ）（A>0，w>0），与y=sinx函数图像间的关系

（1） y=sinx 所有点的横坐标变为原来的1/w （纵坐标不变） y=sinwx 所有点向左或向右平移φ/w 个单位 y=sin（wx+φ） 所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变） y=Asin（wx+φ）

（2） y=sinx 所有点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变） y=Asinx所有点的横坐标变为原来的1/w 纵坐标不变 y=Asinwx所有点向左或向右平移φ/w个单位 y= Asin（wx+φ）

虽然教材上讲的很清楚但学生就是不好接受基于上述关系及三角函数图像及性质笔者归纳了如下解题方法就是直接画图像仅供参考，当然更适合复习或探究后的归纳总结。

2、因为正弦函数是奇函数，所以正弦函数和正弦型函数图像都是中心对称图形，故可直接一找中心为（-φ/w，0）即起始点，二求周期T=2π/ w 然后找末尾（-φ/w+T，0）即起始点加一个周期T，再找半个周期点（-φ/w+T/2，0），再找四分之一个周期点（-φ/w+T/4，A），再找四分之三个周期点（-φ/w+3T/4，-A）三找最大值A最小值-A最后连线即可画出一个周期内函数的图像

例1、作函数y=2sin（2x+π/3）的一个周期的简图

导析：函数的中心为（-π/6，0）周期为π，最大最小值分别为2、-2故起始点（-π/6，0）末尾点为（5π/6，0）半个周期点（2π/6，0）四分之一个周期点为（π/12，2）四分之三周期点（7π/12，-2）最后连线即可

3、利用上述找中心求周期和最值的思路还可直接解决平移问题、求函数表达式和单调区间

例2：将函数y=sinπx的图像向右平移1/2个单位，平移后对应的函数为（ ）

A y=sin（πx+1/2） B y=sin（πx-1/2）

C y=cosπx D y=-cosπx

导析：函数y=sinπx的中心为（0，0）向右平移1/2个单位中心为（1/2，0）故函数表达式y=sinπ（x-1/2）即y=sin（πx-π/2）选D

例3：已知函数y=Asin（wx+θ）（A>0，w>0，0

导析：由最值点可知A=2，半个周期T/2=2π/3-π/6，解得T=π即2π/w=π所以w=2离y轴最近的一个中心的横坐标-θ/w为最高点的横坐标减T/4即-θ/2=π/6-π/4解得θ=π/6故函数的解析式为y=2sin（2x+π/6）

二、综合应用

例4：求函数y=sinx cosx+ cos2x- /2的周期、最值及单调区间

导析：利用倍角公式sinx cosx= sin2x、 cos2x= （cos x+1）/2先降次从而化简函数。函数可化为y=sin2x /2+ cos2x/2既而化简为y=sin（2x +π/3）下略同例4

例5：求函数y=2sinx cosx+2sinx+2cosx+3的值域。

导析：本题和例5不同，尽管次数高，但题目中还有一次项，利用倍角公式降次后仍无法解决，但由2sinx cosx和2sinx+2cosx联系到（sinx+ cosx）2=1+2sinxcosx 2sinx+2 cosx=2（sinx+ cosx）故函数可化为y=（sinx+ cosx）2+2（sinx+ cosx）+2既而再化为y=[ sin（x +π/4）+1]2+2故可看成是关于 sin（x +π/4）的一元二次函数而 sin（x +π/4）∈[- ， ]所以当 sin（x +π/4）=-1时ymin=1当 sin（x +π/4）= 时ymax=4+2 故原函数值域为[1，4+2 ]

三、 强化训练：

1、函数y=sinx的图像关于原点对称，观察正弦曲线的形状，结合正弦函数的周期性可知，正弦曲线的对称中心为_______

2、已知函数f（x）=2sin2x+sin2x-1（x∈R）

（1）求函数的最大值

（2）求函数取得最大值时x的集合

3、要得到y=sinx的图像，只需将函数y=cos（x-π/3）的图像向右平移_______单位

4、函数y=2sin（2x +5π/2）的图像的对称轴方程为_______

5、若将某正弦型函数的图像向右平移π/2以后，所得图像的函数式为y=2sin（x +π/4），则原来的函数表达式为（ ）

A y=2sin（x +3π/4） B y=2sin（x +π/2） C y=2sin（x-π/4） D y=2sin（x +π/4） -π/4

另：当A

综上所述，要想学好三角函数，就需要熟练掌握其图像的变化规律，诱导公式，和角公式，如y=asinx+bcosx= sin（x+Ф）等常见公式。

以上只是笔者在教学中的一些经验总结，不妥之处望提出宝贵意见，大家共同提高，作为教师就应该有深入钻研教材的精神，真正变教材内容为教学内容，使师生将课本知识内化为自己的知识，逐渐养成习惯，培养学习能力，从而提高分析和解决问题的能力。

参考文献

[1]《山西省中等职业学校对口升学复习指导.数学》（复习资料）

[2]《中学数学教学参考》2001第11期