基于随机集理论的多目标跟踪技术研究

【摘 要】随机集理论为在杂波背景下的多目标跟踪的研究提供了一种友好的理论工具。本文对近年来的多目标跟踪技术研究现状进行了综述，概要总结了随机有限集的理论基础和概率假设滤波器的理论基础以及在目标跟踪中的应用，并对其未来发展提出了自己的观点。

【关键词】随机有限集 多目标跟踪 概率假设滤波器

一、引言

随机集理论（Random Sets Theory，RST）主要是指有限集统计（FISST）理论，Mahler在1994年利用Bayes方法、随机集统计学理论对多传感器多目标状态估计问题进行了重新描述，并且引入有限集统计特性（finite set statistics，FISST）理论和广义FISST理论，在随机有限集理论框架下将多传感器多目标跟踪问题描述为贝叶斯估计问题，且给出了相应的多目标贝叶斯滤波器的递推公式，由于该算法的计算复杂度随目标个数的增多而迅速增大。因此，需要对多目标贝叶斯滤波器做一些智能的近似。Mahler等人从统计的角度提出了多目标集合概率分布的“一阶矩滤波器”概念以及相应的PHD滤波算法。

二、随机有限集理论基础

随机集是指取值为集合的随机元，是概率论中随机变量概念的推广，实际上就是元素及其个数都是随机变量的集合。随机变量处理的是随机点函数，而随机集处理的是随机集值函数。随机集理论是点向量统计学向“集合变量”统计学的一种推广。

在随机试验中用Ω表示试验的样本空间，Ω中的基本元素为ω，称为样本点。事件是Ω的一个子集，但是一般情况下不把Ω的所有子集都作为事件来考虑，而是把具有某种限制而又相当广泛的一类Ω的子集作为事件，因此有事件域的概念。

定义1.1设Ω是样本空间，F是由Ω的一些子集构成的集合，如果满足以下条件：

（1）Ω∈F；

（2）若A∈F，则A的补集也属于F；

（3）若对于

则称F为事件域，F中的元素称为事件。一般把满足上述条件的集F称为-域，所以事件域是一个-域。

样本空间Ω，事件域F和概率P是描述一个随机试验的三个基本组成部分，三者的有序总体（Ω，F，P）为概率空间。

定义1.2设F是样本空间Ω上的一个-域，称序偶（Ω，F）为可测空间。在概率空间与可测空间的基础上，引入随机集的概念。

定义1.3设有概率空间（Ω，F，P），（）是一个可测空间，是空间Ψ的-域，Ψ的所有子集构成的集类用幂集2Ψ表示，那么随机集可以定义为集值映射：Σ：Ω2Ψ，定义随机集Σ的概率分布：

（1）

定义1.4令（）是一个概率空间，其中是样本空间，是的-代数，是概率测度，是一个可测空间。对于每一个可测映射（），有x：Ω，可以表示为：{x│x（w）∈A}∈，若，则x是一个随机变量。

三、基于随机有限集的目标跟踪原理

使用随机集理论提供的数学工具，有助于多源多目标模型的建立，其基本思想如下：首先将目标集重新概念化为一个具有多目标状态的单目标，多目标状态看作一个“全局状态”，单目标看作一个“全局目标”。其次是将传感器组重新概念化为一个单传感器，即一个“全局传感器”。然后，类似单目标运动可以使用运动模型来建模一样，多目标系统的运动可以使用多目标运动模型和观测模型来建模。

在多目标背景下，假定k时刻的目标集合表示为，测量集合表示，其中和分别为单目标状态空间X和单目标观测空间Z的所有子集构成的矢量集合。对k时刻的目标状态建模为：

（2）

其中表示由前一时刻状态为的目标在k时刻存活的随机有限集合，表示由前一时刻状态为的目标在k时刻所衍生出的随机有限集合，表示当前时刻新生的随机有限集合。对k时刻的目标观测量建模为： （3）

其中表示对单个目标状态为x的随机有限集合，表示虚警。

多目标后验密度通过式（4）和式（5）所示的最优多目标贝叶斯递归方程估计，其中表示观测集合，表示集合积分，表示多目标观测似然

（4）

（5）

由上述递归方程可看出，此过程避免了清晰的数据关联过程。但最优多目标贝叶斯滤波器在实际中难以应用。针对该问题，Mahler提出了最优多目标贝叶斯滤波器的多种原理近似滤波器。因此，基于随机集的PHDF算法应运而生。

四、基于随机有限集的概率假设滤波器

Mahler用随机有限集的一阶矩，近似多目标后验密度，得到概率假设密度滤波器（PHDF）。PHD函数表示联合多目标后验分布的强度函数。PHD通过预测和更新操作对强度函数进行传播。可以说，PHDF是一种随着时间推移递归地产生多目标后验密度的一阶统计矩过程，对于Bayes滤波递推全局后验密度过程要简单的多，PHDF仅涉及单个目标状态空间内的积分运算，运算量大大降低。为了得到完整的PHDF，目标数目需要假设服从泊松分布。PHD还能够预测目标数目的估计值。将PHD与Bayes估计相联系，PHD滤波器的递推计算式分为预测与更新两个方程：

（一）PHD预测方程

（6）

其中，为多目标状态密度函数的PHD函数，为k时刻新出现目标的RFS的PHD；为k-1时刻状态为的目标衍生的RFS的PHD； 为k-1时刻状态为的目标在k时刻仍存活的概率；为单个目标的转移概率密度。

（二）PHD更新方程

在k时刻，得到新的观测值集合后，更新PHD函数（.），PHDF更新方程表达式：

（7）

其中：为多目标状态密度函数的PHD函数，为杂波

PHD函数，为k时刻的检测概率；为单个目标的似然函数。由上面的式子可以看出，PHD函数是一个单目标状态空间上的多峰的函数，可认为是对各个目标后验概率密度函数的叠加。

五、概率假设滤波器的研究在目标跟踪技术中的应用

从1997年到2000年，Mahler首次利用随机有限集理论系统地描述了多目标跟踪问题，为基于随机集的多目标跟踪方法提供了一个坚实的理论基础.从此以后，它已经成为一个新的研究热点，并取得了丰硕的研究成果和在许多实际问题中取得了成功的应用。

把PHD滤波器和具有较好鲁棒性的分类算法相结合，并将其应用于高分辨率需达系统的空中目标识别和跟踪问题以及雷达目标跟 踪、辐射源定位、地形跟踪、基于图像序列的特征点跟踪、基于声纳数据的目标跟踪、声源跟踪、视频目标跟踪 、机器视觉、同步定位和地图创建（SLAM）等。随着PHD滤波器越来越得到广泛应用，与PHD滤波器相关的诸如目标航迹形成，传感器管理及滤波器的工程应用等问题还需进行进一步研究。

六、总结

我认为，近年来，有关随机有限集理论的方法在目标跟踪领域中取得的主要成果包括概率假设密度滤波器和势概率假设密度滤波器。但是，在现实中这两种滤波器很难实现多目标状态的提取。最近提出了一种势均衡多目标多伯努利滤波器，极大的提高了多目标状态提取的可靠性和高效性，这会是以后研究方向的一大热点。

参考文献：

[1]孟凡彬.基于随机集理论的多目标跟踪技术研究[D].哈尔滨工程大学博士学位论文.2010.

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