“向量坐标化”

平面向量作为高中数学必修四第二章的内容，高考每年必考，主要是考查向量的运算，包括不含坐标的运算和含有坐标的运算，难度并不大，但是向量作为数学的一个工具，还是起到了一定的作用，尤其是向量问题坐标化，往往会给我们解题带来很大的帮助，向量的坐标表示将向量的运算转化为我们最熟悉的实数运算，为快速准确解题带来了极大的方便，对明确给出向量坐标的题目我们已经会解了，而对于没有明确给出向量坐标的题目，往往就不知如何入手，下面通过实际例子，来体验“向量坐标化”的应用，主要以今年高考题为例。

例1. （2013江苏卷理10）设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD=12AB，BE=23BC，若DE=λ1AB+λ2AC（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为

.

解析：不妨设ABC为等腰直角三角形，B=90°，AB=BC=2，以B为原点BA、BC为两坐标轴建系，将坐标代入DE=λ1AB+λ2AC，易得λ1+λ2=12.

例2.（2013山东卷理15）已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|=3，|AC|=2，若AP=λAB+AC，且APBC，则实数λ的值为

。

解析：以A为原点，AB为X轴建系，易得A、B、C、P坐标以及AP，BC的坐标，再由APBC，可得λ=712.

例3.（2013湖南卷理6）已知a，b是单位向量，a·b=0，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的取值范围是

A. [2-1，2+1] B. [2-1，2+2]

C. [1，2+1]D. [1，2+2]

解析：设a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），代入|c-a-b|=1，得（x-1）2+（y-1）2=1 |c|=x2+y2可视为点（x，y）与点（0，0）的距离，由圆的特点可得A.

例4. （2013天津卷理12）.在平行四边形ABCD中，AD=1，∠BAD=60°，E为CD中点，若AC·BE=1，在AB的长为

。

解析：以A为原点，AB为X轴建系，设B（x，0），由AD=1，∠BAD=60°可得D12，32，C1+x2，32，进而可得E，代入AC·BE=1，x=AB=12.

例5.（2013重庆卷理10）在平面上，AB1AB2，|OB1|=|OB2|=1，AP=AB1+AB2，若|OP|

A. （0，52] B. （52，72]

C. （52，2]D. （72，2]

解析：这时压轴选择题，但是我们仍然可以用坐标。以A为原点，AB1，AB2为X，Y轴建系，设B1（a，0），B2（0，b），则P（a，b），再设O（x，y），由|OB1|=|OB2|=1，得（x-a）2+y2=1①，x2+（y-b）2=1②，由|OP

例6. （2013安徽卷理9）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|OA|=|OB|=OA·OB=2，则点集{P|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|1，λ，μ∈R}所表示的区域面积是

（A）22 （B）23 （C）42 （D）43

解析：这时倒数第二个选择题，由|OA|=|OB|=OA·OB=2，可知∠AOB=60°可设A（1，3），B（-1，3），P（x，y），代入{P|OP=λOA+μOB，|λ|+|μ|1，λ，μ∈R}得x+y3+x-y32，按线性规划分4类画出图形为长23宽2的矩形，选D.

例7. （2013浙江卷理7）设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB·PCP0B·P0C。则

A. ∠ABC=90° B. ∠BAC=90°

C. AB=AC D. AC=BC

解析：以A为原点，AB为x轴建系，不妨设AB=4，则B（4，0），P0（3，0），设P（x，0），0x4，C（a，b），代入PB·PCP0B·P0C整理得，（x-3）（x-a-1）0对0x4恒成立，故a=2，CA=CB选D.

例8. （2012浙江卷理15）在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则AB·AC=

.

解析：以BC为x轴，M为原点建系，则B（-5，0），C（5，0），设A（x，y），AM=3，得x2+y2=9，AB·AC=x2+y2-25=-16（当然设A（0，3）更简单）.

例9. （2011天津卷理14）已知直角梯形ABCD AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|PA+3PB|的最小值为

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴建系，设DC=h，则A（2，0），B（1，h），设P（0，y），（0yh）则PA=（2，-y），PB=（1，h-y），

|PA+3PB|=25+（3h-4y）225=5.

例10. （2011辽宁卷理10）若a，b，c均为单位向量，且a·b=0，（a-c）·（b-c）0，则|a+b-c|的最大值为（ ）

A.2-1 B.1 C. 2 D. 2

解析：设a=（1，0），b=（0，1），c=（x，y），代入（a-c）·（b-c）0得x-122+y-12212，表示圆及内部|a+b-c|=（1-x）2+（1-y）2可视为点（x，y）与点（1，1）的距离，由圆的特点知最大值为1.

例11. （2010全国卷1理11）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA·PB的最小值为

（A）-4+2 （B）-3+2

（C）-4+22 （D）-3+22

解析：设圆O：x2+y2=1，P（x，0），A（m，n），B（m，-n），则m2+n2=1，PA为切线，OA·PA=0，m2-mx+n2=0，即mx=1，PA·PB=2m2+x2-322mx-3=22-3，选D.

例12. （2004全国高中数学竞赛第4题）设点O在ABC的内部，且有OA+2OB+3OC=0，则ABC的面积与AOC的面积的比为（ ）

A.2 B. 32 C.3 D. 53

解析：以A为原点，AC为x轴建系，设C（x，0），B（m，n），O（a，b），代入OA+2OB+3OC=0，得n=3b，SABC∶SAOC=n∶b=3，选C.

例13.证明教材平面向量数量积分配律：（a+b）·c=a·c+b·c

解析：a=（x，y），b=（a，b），c=（m，n）

（a+b）·c=（x+a，y+b）·（m，n）

=xm+am+yn+bn

a·c+b·c=（x，y）·（m，n）+（a，b）·（m，n）

=xm+yn+am+bn

（a+b）·c=a·c+b·c

例14.a、b、c>0，且a+b+c=1，证明：a2+b2+c213.设m=（a，b，c），n=（1，1，1），m·n=a+b+c=1.而|m·n||m|·|n|，故1a2+b2+c23，平方可得a2+b2+c213（柯西不等式可直接得出）.

通过以上实例，大家对向量坐标化应该有一定的体会，当然以上各题均可以不用坐标来解决，但是有的题目直接处理需要一定的技巧，不如建立适当的坐标那么直接（只是有时候运算量大一点哈），这其实是形到数的解题思想，是数形结合的一个重要方面，充分理解和运用这种思想分析和解决问题，会给我们解题（特别是与平面几何有关的问题）带来极大的方便，所以高考中也非常重视对这种思想方法的考查，平面向量在中学应用很广泛，希望我们在以后教学的过程中，多思考，多探索，使向量的应用更灵活、更简洁。以更好地作为工具服务于我们的高中数学。