利用图形变换巧解数学难题

【摘要】本论文通过几个实例来说明如何利用图形变换来解决几何证题中难以解决问题，通过典型例题的分析，证题和解题的技巧，希望能对学生的分析问题、解决问题和逻辑思维能力的提高有所帮助。

【关键词】数学教学 平面几何 利用 变换

平面几何中的证题和解题常常通过作辅助线得以解决。平移、对称、旋转变换是解决平面几何问题常用的方法。图形通过变换运动，它的位置发生了变化，但在变化之中却保持着一个相对不变的性质，也就是说图形中的对应线段的长短和其对应角的大小都保持不变，它是属于一种全等变换。当题设和结论中的某些元素，它们之间的关系在原来位置上往往不易发现，很难思考，这时采取适当的变换，将图形中分散的几何量集中起来，构成新的图形，便于找到解决问题的途径。下面是利用平移、对称、旋转变换解决几何问题的几个实例。

1.利用平移解决几何问题

例1 设P为平行四边形ABCD内的一点，试证以PA，PB，PC，PD为边可以构成一个凸四边形，它的面积刚好是平行四边形ABCD面积的一半。

分析：PA，PB，PC，PD是从同一点P出发的四条线段，要使它们能构成首尾相接的凸四边形，必须将部分线段移动位置，而不改变它们的长度。

证明：将APD平移到BP1C的位置，则BP1=AP，CP1=DP于是四边形BP1CP是一个以AP、BP、CP、DP为边的凸四边形，因πx（2R-x）Δx

且πR2Δx

故

2.利用轴对称和平移解决数学问题

例2 已知：A（2，-3），B（4，-1），在x轴上求两点C（a，0），D（a+3，0）使四边形ABCD的周长最短。

分析：AB和CD的长一定，要使四边形ABCD的周长为最短，只需BC+AD为最小，（可先确定C点位置，然后确定D点的位置）。

我们可以把线段AD和BC变成有公共端点的折线。

解：将A点向左平移三个单位至A′，作B点关于x轴的对称点B′，连结A′B′交x轴于C点，将C点向右平移三个单位到点D，这时四边形ABDC的周长为最短，现在求C，D两点的坐标。

由三角形相似得：

即：C（1.25，0）D（4.25，0）

3.利用旋转变换解决几何问题

例3 在ABC中，AB=AC，P是三角形外的一点，∠APB>∠APC。

求证：PC>PB

分析：根据已知和求证中所涉及的元素在原图形中看不出有什么关系，我们可以图形中的一部分进行旋转变换，使有关的元素集中起来再作探索。

证明：将ABP绕A点逆时针旋转到

ACP′的位置，则AP′=AP，CP′=BP，

∠AP′C=∠APB，连结PP′，则∠APP′=∠AP′P，

∠APB>∠APC，∠AP′C>∠APC

∠CP′P>∠CPP′，PC>P′C

PC>PB

4.利用旋转变换和轴对称解决几何问题

例4 已知：正方形ABCD，E是正方形内一点，且∠EDC=∠ECD=15°，求证ABE是等边三角形。

分析：问题中易证AE=BE，只需证有一个角是60°即可，在原位置上很难找到证题途径，所以对图形进行适当的变换将图形中分散的几何量集中起来，从而找到解决问题的方法。

证明：先将DCE绕C点以逆时针方向旋转90°至CE′B，以BC为对称轴，作出它的对称图形CE″B，连接EE′，

则CE=CE′=CE″，

又 ∠DCE=∠BCE=∠BCE=15°，

∠ECE″=90°-∠DCE-∠BCE″

=90°-15°-15°=60°

又 EC=E″C

CEE″为正三角形，

CE″=EE″

又 ∠CE″B=∠CE′B=∠CED

=180°-2×15°=150°，

∠EE″B=360°-∠EE″C-∠CE″B，

=360°-60°-150°，

=150°

∠EE″B=∠CE″B，又 E″B=E″B，

EE″B≌CE″B

BC=BE， ∠CBE″=∠EBE″=15°，

∠ABE=90°-15°×2=60°

又 BE=BC=BA，ABE为正三角形。

说明：

1）若已知条件中出现相互平行且相等的线段，自然想到利用平移知识解决问题，若条件中并没有出现这些问题，我们要想利用平移的知识求解，则可通过平移使有关线段或角相对集中，从而可降低求解的难度。

2）旋转变换是获得辅助线的一种方法，它应用的范围是：题中有相等的线段，如 等腰三角形、等边三角形、正方形等，而题设和结论中的某些元素，它们之间的相互关系在原位置上往往不易发现，这时若采取适当的旋转变换，将它们从原来的位置变到一种新的位置使元素间的关系显得非常清楚，这样变换后，就有利于我们完成解题或证题工作。

利用图形变换来解决问题的方法再配以现代化的教学手段有助于学生学习兴趣的培养和能力提高。

参考文献

[1] “旋转变位法”在平面几何中的应用浅说――欧购粮.

[2] 《数学教学通讯》.