基于SVD图像压缩技术研究

摘要： 数字图像处理方法的研究源于两个主要领域：一是便于人们分解图像，对图像信息进行改进；二是使机器能自动理解图像。后者正是我们所要研究的内容。众所周知，在计算机中，图像是通过矩阵来表示的，一幅图像对应着一个矩阵，对图像的压缩就转换成了对矩阵的处理。在数学中，对矩阵进行奇异值分解可以把一个矩阵分解成只用几个数来表示，而且这种分解具有很好的稳定性、唯一性和自相似性。通过这种方法，就能用比较少的数据来表示相应的图像。本文就是通过对图像的矩阵进行奇异值分解，将一幅图像转换成只包含几个非零值的奇异值矩阵，实现图像压缩。

Abstract： The theory about DIP (Digital Image Processing) is used in two filed. One is the improvement of the information about image, and the other is the saving, transport and display. And the latter is the object that we researched. It is well known that the graph is presented by matrix in computer. So we can deal with a graph by using the matrix. In math by using the multiresolution SVD, the matrix can be decomposed into just a few numbers, and the decomposition is very stable, unique, and self-similar. By this method，we can express digital image witn less data. This paper proposes a multiresolution form of the singular value decomposition(SVD), and shows how it may be used for signal analysis and approximation. Digital image is transformed into singular value matrix that contains nonzero singular values by singular value decomposition (SVD) so that the image is compressed.

关键词： 图像压缩；矩阵；奇异值分解

Key words： image depress；matrix；singular value decomposition

中图分类号：TP319文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2011）13-0169-02

1 图像压缩的背景

图像压缩编码研究在中国起步较晚。进入21世纪以来，我国多媒体信息产业在生产和科研方面都加快了发展速度，但就其发展过程来说，可以分成三个阶段：第一代，着重于图像信息冗余度的压缩方法；第二代，着重于图像视觉冗余信息的压缩方法；第三代，基于模型的图像压缩方法。

图像压缩所要解决的问题是研究如何最大限度的压缩图像数据，并保证利用这些数据所重建的图形是用户能够接受的。图像编码与压缩，从本质上来说，就是对要处理的图像原数据用一定的规则进行变换和组合，从而以尽可能少的代码（符号）来表示尽可能多的数据信息。

数字图像压缩主要分为有损压缩和无损压缩，各自在不同的领域发挥着不同的作用。要求高精确恢复的主要使用无损压缩技术，比如文本文档的压缩。对精度要求不太高的压缩常常使用有损压缩，这样可以大大节省空间。在有损压缩中用得最普遍的主要是离散余弦变换和小波变换，近几年，分形压缩也比较热门，而且有着比较高的压缩比。

无损压缩也称冗余度压缩方法，利用数据的统计冗余进行压缩，具体来说就是解码图像和压缩编码前的数据严格相同，没有失真，从数学上讲是一种可逆运算。但压缩率受到数据统计冗余度的理论限制，一般为2:1到5:1之间。这类方法广泛用于文本数据、程序和指纹图像、医学图像等特殊应用场合的图像数据的压缩。由于压缩比的限制，仅使用无损压缩方法不可能解决图像和数字视频的存储和传输问题。

有损压缩方法也称为信息量压缩方法，利用了人类视觉或听觉对图像或声音中的某些频率成分不敏感的特性，允许压缩过程中损失一定的信息，也就是说解码图像和原始图像是有差别的，允许有一定的失真。所损失的部分对理解原始图像的影响较小，却换来了很高的压缩比，如矢量量化，自适应量化法，基于模型的编码，神经网络编码，分形编码，小波编码，混合编码等。有损压缩广泛应用于语音、图像和视频数据的压缩，图像压缩是图像传输的前提。矩阵的奇异值分解，可以将任意一个矩阵分解成只包含几个非零值的奇异值矩阵，将其用于图像分解，则可以产生图像的压缩。

矩阵计算及分析在工程技术中被广泛的应用，特别是利用矩阵的分解可以将许多实际问题转化，使之迎刃而解。在诸多的矩阵分解方法中，有一种具有优良性质的完全正交分解――奇异值分解，该方法理论的诞生可以说有近百年的历史，而被用到工程领域还是随着计算机的发展和信息工程的需求，于本世纪70年代初开始被广泛的应用到处理矩阵有关秩的问题中，并且在许多领域展示了其威力。它的核心是在不改变矩阵秩度量的前提下，给出有效秩，并在某种意义下给出矩阵秩的最佳逼近。在图像处理中应用SVD(奇异值分解)的主要理论背景是：①图像奇异值的稳定性非常好，即当图像被施加小的扰动时，图像的奇异值不会有大的变化；②奇异值所表现的是图像内蕴特性而非视觉特性。

2 奇异值分解的基本原理

参考文献：

[1]陈逢时.子波变换理论及其在信号处理中的应用.北京：国防工业出版社.

[2]吴崇明等编著.基于MATLAB的系统分析与设计――小波变换.西安:西安电子科技大学出版社，2000.

[3]Dony R D,Haykin S. Neural Networks Approaches to Image Compression.Proceeding of The IEEE,Vo1.83,No.2,Feb.1995.