基于线性状态反馈方法的Nadolschi混沌系统同步

摘 要：研究了一类新型混沌系统――Nadolschi系统的同步控制问题。首先为响应系统设计一个多变量线性状态反馈控制器，进而将Nadolschi系统的同步控制问题转化为误差系统零平衡点的镇定问题。然后，根据Lyapunov稳定性理论，得出使Nadolschi混沌系统达到渐近同步的充分条件。仿真结果验证了所提方法的有效性，所设计的控制器具用结构简单，易于实现等优点。

关键词：Nadolschi混沌系统；混沌同步；线性状态反馈；渐近稳定

中图分类号：TP18 文献标识码：B

文章编号：1004-373X(2008)09-100-02オ

Synchronization of Nadolschi Chaotic System Based on Linear State Feedback Control

MIAO Lihua1,KUANG Baoping1,ZHAO Yan2

(1.Information Technique Center,Shenyang Medical College,Shenyang,110031,China;

2.Information Science & Engineering College,Northeastern University,Shenyang,110004,China)

オ

Abstract：Synchronization control of a class of new chaotic system named Nadolschi chaotic systems is studied.A multi-variables linear state feedback controller is designed for the response system.Then,the synchronization of chaotic system is converted into the stabilization of error systems at the zero equilibrium point.According to Lyapunov stability theory,the sufficient condition of synchronization of the Nadolschi chaotic systems is derived.Simulation results are presented to demonstrate the effectiveness of the proposed method.The designed controller is simple and convenient to implement.

Keywords：Nadolschi chaotic system;chaotic synchronization;linear state feedback;asymptotic stability

1 引 言

自从Pecora和Carroll [1]在1990年发表具有代表性的混沌同步方面的文章以来，许多控制方法被应用到混沌同步控制中[2-10]。其中，基于线性状态反馈方法的控制器具有设计简单，易于实现等优点，在混沌控制领域得到了广泛的应用[9]。文献［9］对多种常见的混沌系统如Lorenz系统族、Rossler系统等采用线性状态反馈控制器实现了混沌同步，这些混沌系统的共同特点是方程的右端只含有1个或者至多含有2个非线性项。1944年，Nadolschi研究刚体运动时引入一个混沌系统[11]，其特点是方程右端含有3个非线性项。由于其结构的特殊性，文献［9］提出的方法不可以直接应用到该系统中。

为此，本文针对Nadolschi混沌系统，提出一种新的线性状态反馈同步方法，并根据Lyapunov稳定性理论，得出使Nadolschi混沌系统达到自相似结构同步的控制器增益取值范围，该方法的有效性在数值仿真中得到了验证。

2 问题描述

考虑一类混沌系统:

И

1=－x2x3+ax12=x1x3+bx23=x1x2/3+cx3

(1)

И

当参数取值为a=5,b=－10,c=－3.8,初值(x10,x20,x30)=(－12,5,－4)时,Ц孟低炒嬖谕1所示的奇怪吸引子，即为混沌系统，通常被称为Nadolschi混沌系统。

图1 Nadolschi系统的奇怪吸引子

本文的目标是，将式(2)作为响应系统，取式(1)为驱动系统，设计一个稳定的控制器使上述系统实现自相似结构渐近同步。

И

1=－y2y3+ay12=y1y3+by23=y1y2/3+cy3

(2)

И

其中参数取为a=5,b=－10,c=－3.8，初值取为(y10,y20,y30)=(－7,8,－11)。И

3 线性状态反馈控制器设计

在混沌同步中，用到的反馈方法主要有参数反馈和状态变量反馈两种。参数反馈是指利用反馈的误差信号去调整系统的参数，使两个混沌系统实现同步化。状态变量反馈指的是反馈的信号直接加到响应系统的状态变量上去，不改变系统的参数。状态变量反馈可以有多种形式，可以是线性的，也可以是非线性的。这里，采用线性状态变量反馈方法设计同步控制器。

引入状态反馈控制的响应系统可以表示为:

И

1=－y2y3+ay1－k1(y1－x1)2=y1y3+by2－k2(y2－x2)3=y1y2/3+cy3－k3(y3－x3)

(3)

И

其中，k1，k2和k3为控制增益。

由驱动系统(式(1))和响应系统(式(3))构成的误差系统可以表示为:

И

1=1－1=(a－k1)e1－x3e2－y2e32=2－2=x3e1+(b－k2)e2+y1e33=3－3=13x2e1+13y1e2+(c－k3)e3

(4)

И

显然，误差系统的原点（e1=e2=e3=0В┦歉孟低车钠胶獾悖因此，可以选取合适的k1，k2和k3У闹担使误差系统在零平衡点处渐近稳定，即混沌系统达到自相似结构同步。

4 Nadolschi混沌系统同步的充分条件

[HTH]定理[STHZ]1[STBZ] [HTSS]对于式(4)所示的误差系统，当下列条件满足时，误差系统是渐近稳定的，即驱动系统和响应系统达到渐近同步。

И

k1>a+1(5)

k2>b+1(6)

k3>c+(13x2－y2)24+4y219

(7)

И

证明 选取如下的Lyapunov函数:

И

V=12(e21+e22+e23)

(8)

И

对其求对时间的导数，可得:

从上式可以看出，当条件式(5)、(6)和(7)满足时，Иё苁切∮0的，根据Lyapunov稳定性理论，误差系统(式(4))是渐近稳定的，证毕。

注释：根据混沌系统具有状态有界性，可以从仿真试验中获得每个状态变量的取值范围，即y1∈［－d1,d1］，y2∈［－d2,d2］，x2∈［－d3,d3］，因此，控制增益k3У娜≈捣段б部梢运嬷确定。

所以，根据定理1，可以找到适当的控制增益k1，k2和k3，使Nadolschi混沌系统达到自相似结构渐近同步。

5 仿真研究

为说明所提方法的有效性，下面进行仿真研究。系统参数分别取a=5,b=－10,c=－3.8。从系统的仿真试验中可以得出d1=27，d2=23，d3=23。于是，根据定理1，可以取k1>6，k2>－9，k3>555.32使Nadolschi混沌系统达到自相似结构同步。这里取k1=10，k2=10，k3=600。И

施加控制后的误差系统状态响应曲线如图2所示。从仿真图中可以看出，Nadolschi混沌系统可以很快地达到自相似结构渐近同步，达到了预期的控制目标。

图2 误差模糊系统状态响应曲线

6 结 语

本文研究了Nadolschi混沌系统的同步控制问题，基于Lyapunov稳定性理论，设计了相应的线性状态反馈控制器，使Nadolschi混沌系统达到自相似结构渐近同步。从仿真结果可以看出，该方法取得了良好的控制效果。

参 考 文 献

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注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。