基于状态观测器的超混沌系统的同步研究

摘要：该文通过状态观测器方法实现了超混沌Chen系统的同步，设计了全局状态观测器，并对该方法的同步能力进行了理论研究，数值仿真结果验证了这种设计方法的有效性。

关键词：超混沌系统；混沌同步；状态观测器

中图分类号：TP391文献标识码：A文章编号：1009-3044(2012)08-1854-03

Based on State Observer of the Hyperchaotic Synchronization Research

ZHANG Ji-shi, XIA Bao-sheng

(Computing Center, Henan University, Kaifeng 475004, China)

Abstract：In this paper, the synchronization of hyperchaotic Chen system is proposed by the state observer method, the overall of the state observer is designed, the method of synchronous ability is also theoretical investigated, the effectiveness of this method has been verified by numerical simulation results.

Key words：hyperchaotic system; synchronization of chaos; state observer

“混沌同步”的概念在1990年由Pecora和Carroll首次提出[1]，二十多年来，混沌同步的研究引起很多学者和专家的关注，并取得了丰富的成果[2-5]。在图像处理、保密通信和生物科学等方面，混沌同步有着很好的应用前景。目前，很多的保密通信系统只采用低维混沌系统，然而，这样的通信系统存在保密性不强的缺点，而超混沌（高维）系统可以得到复杂度更高，不可预测性更强的动力学行为，从而可以增强通信的保密性。所以有关超混沌系统的同步方法研究就有了很重要的意义。本文基于超混沌Chen系统，利用状态观测器方法，设计了一个全局状态观测器，理论证明了该方法可以实现同步，文章最后进行了数值仿真，结果验证了所设计方法的有效性。

1状态观测器的设计

1.1系统概述

超混沌Chen系统是Li等人在2004年对Chen系统进行控制研究中得到的[6]，并用如下微分方程组

来描述。式(1)中x、y、z和w为系统的状态变量，a、b、c、d和r为系统的控制参数。当a=35，b=3，c=12，d=7和0.085

当a=35，b=3，c=12，d=7和0.085

??F==c-(a+b)+r=r-26

这里F=(F1,F2,F3,F4)=(a(y-x)+w,dx-xz+cy,xy-bz,yz+rw)。由此可以看出，系统(1)是一个耗散系统。故?t≥0，系统（1）的各个变量连续可微且是全局有界的。1.2方法设计

假设一般混沌系统的方程描述如下：

x?=Ax+Bf(x)，(2)

式中x∈Rn用来描述状态变量，A∈Rn×n，B∈Rn×m，f(x)是非线性函数且是连续的。

设定系统(2)的输出为：

(3)

式中L∈Rm×n用来表示反馈增益矩阵。

基于线性控制理论中的状态观测器的方法，设计如下观测器：

x??=Ax?+Bf(x?)+B[g(x)-g(x?)]，

(4)

通过定义误差为e(t)=x-x?，得到误差系统如下：

e(t)=x-x?=Ae+Bf(x)-Bf(x?)-B[s(x)-s(x?)]=(A-BL)e,(5)

观察误差系统可以知道，通过适当的选取L，可以满足( A-BL )的所有特征值具有负实部，误差系统渐近稳定（limt∞

e =0），

也就实现了原系统(2)与观测器系统(4)的同步。

在对观测器进行设计时，如果矩阵[B,AB,?,An-1B]是满秩的，可以利用极点任意配置原理[9]，来确定L的值。

1.3混沌同步

当a=35，b=3，c=12，d=7和r=0.5时，系统(1)具有超混沌现象，且会出现奇怪吸引子。图1展示了奇怪吸引子在三个坐标平面内的相图。接下来把系统(1)改写成系统(2)的表达形式，便于进行状态观测器的设计，

因为矩阵[B,AB,A2B,A3B]的秩是4，即是满秩的，根据能控和能观的判定条件，得出系统(8)可以稳定到原点，即原系统（6）和观测器系统（7）达到了同步。选取极点位置P=(-1,-1,-1,-1)，借助软件MATLAB中的L=PLACE(A,B,P)函数，计算出L的值为

1.4数值仿真

对方程(6)和(7)运用Runge-Kutta方法[10]来求解，选取它们的初始值分别为x1(0)=2，x2(0)=-1，x3(0)=2，x4(0)=1和x?1(0)=1，

第8卷第8期(2012年3月)

x?2(0)=2，x?3(0)=-1，x?4(0)=0，图2给出了误差信号的响应曲线，误差系统(8)的初始值为(e1(0),e2(0),e3(0),e4(0))=(-1,3,-3,-1)。由图2看出，初始值完全不同的两个系统很快达到了同步，状态观测器方法的有效性得到了验证。

2结束语

本文根据混沌同步问题对系统能控、能观的要求，基于状态观测器理论，再应用极点任意配置的方法，设计了超混沌系统同步的观测器。数值仿真结果显示，此方法能够实现超混沌系统的同步，且具有较快速的同步能力。

参考文献：

[1] Pecora L M, Carroll T L. Synchronization in chaotic systems[J].Phys Rev Lett,1990, 64(8):821-827.

[2]王兴元.复杂非线性系统中的混沌[M].北京:电子工业出版社,2003.

[3] Park J H. Adaptive synchronization of Rssler system with uncertain parameters[J].Chaos, Solitons ,Fractals,2005,25(2):333-338.

[4] Chen S H, Hu J, Wang C P, et al. Adaptive synchronization of uncertain R?ssler hyperchaotic system based on parameter identification[J]. Physics Letters A,2004,321(1):50-55.

[5]王兴元,武相军.变形耦合发电机系统中的混沌控制[J].物理学报,2006,55(10):5083-5093.

[6] Li Y X, Tang W K S, Chen G R. Generating hyperchaos via state feedback control[J]. Int J Bifurcation and Chaos,2005,15(10): 3367-3375.

[7] Yan Z Y. Controlling hyperchaos in the new hyperchaotic Chen system[J]. Applied Mathematics and Computation,2005,168(2): 1239-1250.

[8] Ramasubramanian K, Sriram M S. A comparative study of computation of Lyapunov spectra with different algorithms[J]. Physica D,2000, 139:72-86.

[9]胡寿松.自动控制原理[M]. 4版.北京:科学出版社,2001.

[10]林雪松,周婧,林德新.MATLAB 7.0[M].北京:机械工业出版社,2006.