巧用“分类”思想,解决“边根”问题

摘 要：分类思想是初中数学中一种非常重要的数学思想，在平时的教学中对分类讨论思想的渗透也很重要。本文先通过一个故事引入了分类思想，然后通过对运用分类思想解决“边根”问题的一些例析，可以让同学们对分类思想有着更深入的认识。文章的最后对分类思想从更深层次上作了引申和讲解。

关键词：初中数学 分类思想 边根

解答数学问题时有时无法用同一种形式去解决，而需要选定一个标准，根据这个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想。

分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的答案。

在我们的生活和学习中，有很多看似棘手的问题，如果我们用分类的思想去分析和处理，会变得很顺手。

一、故事引出分类

从前，法国有个聪明的孩子，人人都赞美他，称他为神童。

一次，国王在后花园里散步，然后指着水池问身边的大臣：“池中有几桶水？”大臣们都被这古怪的问题问住了，你看看我，我看看你，答不上来。国王很扫兴，说：“给你们三天时间，谁能回答，谁就有赏。”

三天过去了，大臣们还是答不上来。这时有位大臣奏道：“城东有个孩子，人称神童，要不叫他来试一试？”

国王想，全城都称赞这个孩子，这次就考考他。于是，国王下令宣小孩进宫。

那孩子听了国王的问题，眼睛眨巴了两下，随口回答道：“如果桶和池一样大，就是一桶水；如果桶比池小一半，就是两桶水；如果桶是水池的三分之一，就是三桶水；如果……”没等小孩子说完，国王连连赞道：“答得好，答得妙！真是聪明过人，胜过我的大臣。”大臣们听了都很惭愧。

细品上述故事，小孩的确答得妙，妙在一个众人认为很棘手的问题，小孩能运用分情况讨论的方法巧妙答出。他这种思考问题的方法，实质上是数学中分类讨论的思想方法。在一元二次方程的“边根”问题中，看似很棘手，但是，如果我们用分类思想去解，就变得比较顺手。

二、运用分类思想解决“边根”

例一：等腰ABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解，则这个等腰三解形的周长是______。

解析：因为方程已经给出了，并且又容易求解，所以我们不妨先求出方程的根。原方程变形为（x-2）（x-3）=0，所以x1=2，x2=3。当2为等腰ABC的腰时，3为ABC的底边，所以ABC的周长为2+2+3=7；当3为等腰ABC的腰时，2为ABC的底边，所以ABC的周长为：3+3+2=8。

点评：这道题不仅把几何中三角形的边与代数中方程的根有机结合起来，而且渗透了分类讨论的数学思想，解题时稍不注意，又容易出现错误。

例二：三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长是______。

解析：因为方程x2-6x+8=0根是x1=2，x2=4，所以当三解形为等腰三角形（底与边不等）时，有以下几种情况：

（1）当4为腰时，底边为2，三角形的另一边是4，这时的三角形的边都是方程的根，三角形的周长为4+4+2=10。

（2）当2为腰时，底边为4，三角形的另一边是2，但是线段2、2、4不能组长三角形，所以这时的三角形不存在。

（3）当4为边长时，三角形的三边为4、4、4，这时三角形的边都是方程的根，三角形的周长为4+4+4=12。

（4）当2为边长时，三角形的三边为2、2、2，这时的三角形的边都是方程的根，三角形的周长为2+2+2=6。

所以三角形的周长为10或12或6。

点评：例二如果不用分类讨论的方法，是很容易漏掉答案的；对于（3）和（4）要弄清，原题说的是三角形的边是方程的根，并非是方程的根是同一三角形的边。

三、分类思想运用总结

数学中需要运用分类讨论解答的问题还有很多，需要分类的数学问题特征是条件不定、图形相对位置不定、动态问题等。它首先是根据题目要求确定分类对象；其次针对对象进行合理分类；最后对分类合并归纳，作出综合性结论。分类讨论既是一种思想，又是寻求问题的思维方法，运用它可使问题的解答严谨，防止漏解或结论不严密等。

近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题也十分常见，因为这类试题不仅考查同学们的数学基本知识与方法，而且考查了同学们思维的深刻性。在解决此类问题时，因考虑不周全而导致的问题也比较多，究其原因主要是平时的教学中，尤其是中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够。因此，在平时的教学中，对涉及分类思想的知识点一定要重点讲解，并对知识的背后蕴涵的分类思想做讲解和引申。