柯西不等式的变形公式的妙用

柯西不等式具有对称和谐的结构，应用的关键在于抓住问题的结构特征，找准解题的正确方向，合理地变形、巧妙地构造.作为新课程的选修内容，柯西不等式（简记为“方和积不小于积和方”）在数学的多个领域都有着广泛的应用．课堂教学中，笔者与学生共同探究了柯西不等式的一个变形公式的应用，方便快捷、妙不可言，达到了化难为易、化繁为简、化陌生为熟悉的目的．

柯西不等式的变形公式：设a1,a2,…,an为实数，b1,b2,…,bn为正数，则a21b1+a22b2+…+a2nbn≥(a1+a2+…+an)2b1+b2+…+bn，当且仅当a1b1=a2b2=…=anbn时取等号.

证明：由柯西不等式，得

a21b1+a22b2+…+a2nbn(b1+b2+…+bn)

=a1b12+

a2b22+…+

anbn2

［(b1)2+(b2)2+…+(bn)2］

≥a1b1・b1+

a2b2・b2+…+

anbn・

bn2

=(a1+a2+…+an)2．

b1,b2,…,bn为正数，b1+b2+…+bn>0，

a21b1+a22b2+…+a2nbn≥

(a1+a2+…+an)2b1+b2+…+bn．

当且仅当a1b1b1=

a2b2b2=…=

anbnbn，即a1b1=a2b2=…anbn时取等号．

下面分类例析，旨在探索题型规律，揭示解题方法．

1 在代数中的妙用

例1 设a,b,c均为正数，且不全相等，求证：2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c．

证明：由柯西不等式的变形公式，得

2a+b+2b+c+2c+a=

222(a+b)+222(b+c)+222(c+a)

≥(2+2+2)22(a+b)+2(b+c)+2(c+a)

=364(a+b+c)

=9a+b+c，

当且仅当22(a+b)=22(b+c)=22(c+a)，即a+b=b+c=c+a，亦即a=b=c时，上述不等式取等号．

因题设a,b,c不全相等，于是2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c．

点评：将2a+b+2b+c+2c+a变形为222(a+b)+222(b+c)+222(c+a)，为应用柯西不等式的变形公式创造了条件．本题注意阐明等号取不到的理由．

例2 若a,b,c∈(0,1)，满足ab+bc+ca=1，求11-a+11-b+11-c的最小值．

解析:由柯西不等式的变形公式，得

11-a+11-b+11-c

=121-a+121-b+121-c

≥(1+1+1)2(1-a)+(1-b)+(1-c)

=93-(a+b+c)．

而a2+b2+c2≥ab+bc+ca，

a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)，

即(a+b+c)2≥3×1，亦即a+b+c≥3．

11-a+11-b+11-c≥

93-(a+b+c)≥93-3=

3(3+3)2，

当且仅当a=b=c=33时，上述几个不等式同时取等号．

11-a+11-b+11-c的最小值为3(3+3)2．

点评：将11-a+11-b+11-c变形为121-a+121-b+121-c是求解的基础．后续所用到的a2+b2+c2≥ab+bc+ca及(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)是常用的重要结论，应切实掌握．

例3 已知实数a,b,c,d满足，a+b+c+d-3，a2+2b2+3c2+6d2=5,试求a的取值范围．

分析：分离参数a，利用柯西不等式的变形公式把方程化为关于参数a的不等式，解不等式即可．

解析：由已知得，b+c+d=3-a．2b2+3c2+6d2=5-a2.

由柯西不等式的变形公式，得

5-a2=2b2+3c2+6d2=b212+

c213+d216

≥(b+c+d)212+13+16=(b+c+d)2，

5-a2≥(3-a)2，解得1≤a≤2．

a的取值范围为［1,2］．

例4 已知x,y,z∈R+，求证：x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z≤34．

证明：令x+y+z=t，则

x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z=

t+x-tt+x+t+y-tt+y+t+z-tt+z

=3-t・1t+x+1t+y+1t+z．

由柯西不等式的变形公式，得

1t+x+1t+y+1t+z=

12t+x+12t+y+12t+z

≥(1+1+1)2(t+x)+(t+y)+(t+z)=94t，

x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z≤3-t・94t=3-94=34．

点评：本题先用换元法将所证不等式的左边进行变形，为下一步活用柯西不等式的变形公式奠基．本题有一定的难度，极富思考性和挑战性．

2 在三角中的妙用

例5 若α,β,γ均为锐角，且满足cos2α+cosβ+cos2γ=1，

求证：cot2α+cotβ+cot2γ≥32．

证明：要证cot2α+cot2β+cot2γ≥32，

只需证cos2αsin2α，+cos2βsin2β+cos2γsin2γ≥32,

只需证1-sin2αsin2α+1-sin2βsin2β+1-sin2γsin2γ≥32，

即证1sin2α+1sin2β+1sin2γ≥92．

由cos2α+cos2β+cos2γ=1易得sin2α+sin2β+sin2γ=2．

由柯西不等式的变形公式，得

1sin2α+1sin2β+1sin2γ=12sin2α+12sin2β+12sin2γ

≥(1+1+1)2sin2α+sin2β+sin2γ=92．

原不等式成立．

点评：本题联袂使用切割化弦法、分析法及柯西不等式的变形公式等方可圆满解决．

例6 设α,β,γ∈0,π2，且sin2α+sin2β+sin2γ=1，

求证：sin3αsinβ+sin3βsinγ+sin3γsinα≥1．

证明：由柯西不等式的变形公式，得

sin3αsinβ+sin3βsinγ+sin3γsinα

=(sin2α)2sinαsinβ+

(sin2β)2sinβsinγ+

(sin2γ)2sinγsinα

≥(sin2α+sin2β+sin2γ)2sinαsinβ+sinβsinγ+sinγsinα

=1sinαsinβ+sinβsinγ+sinγsinα，

当且仅当sinαsinβ=sinβsinγ=sinγsinα时取等号．

又sin2α+sin2β+sin2γ≥sinαsinβ+sinβsinγ+sinγsinα，

故所证不等式成立．

点评：本题将sin3αsinβ+sin3βsinγ+sin3γsinα变形为(sin2α)2sinαsinβ+

(sin2β)2sinβsinγ+(sin2γ)2sinγsinα是破解问题的突破口，辅之重要结论a2+b2+c2≥ab+bc+ca的应用，可实现第二次放缩而得证．

例7 已知α,β均为锐角，且cos4αsin2β+sin4αcos2β=1，求证：α+β=π2．

证明：由柯西不等式的变形公式，得

cos4αsin2β+sin4αcos2β=(cos2α)sin2β+

(sin2α)2cos2β≥(cos2α+sin2α)2sin2β+cos2β=1，

上式等号成立的充要条件是cos2αsin2β=sin2αcos2β,

注意到α,β均为锐角，

所以cosαsinβ=sinαcosβcosαcosβ=sinαsinβ．

cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=0，

又0

α+β=π2．

点评：利用柯西不等式的变形公式并灵活应用取等条件可以使许多数学问题的解决变得犹如囊中取物，易如反掌．

例8 设a,b是非零实数，x∈R，且sin4xa2+cos4xb2=1a2+b2．

求sin2008xa2006+cos2008xb2006的值．

解析：由柯西不等式的变形公式，得

sin4xa2+cos4xb2=

(sin2x)2a2+(cos2x)2b2

≥(sin2x+cos2x)2a2+b2=1a2+b2,

上式等号成立的充要条件是sin2xa2=cos2xb2．

令sin2xa2=cos2xb2=k，则k=sin2x+cos2xa2+b2=1a2+b2．

所以sin2008xa2006+cos2008xb2006=(sin2x)1004a2006+

(cos2x)1004b2006

=(a2k)1004a2006+(b2k)1004b2006

=k1004(a2+b2)=1(a2+b2)1004×(a2+b2)=1(a2+b2)1003

点评：用柯西不等式的变形公式的取等条件解决一些技巧性较强的竞赛试题，可收到一招制胜之奇效．

3 在几何中的妙用

例9 如图１所示，等腰直角三角形AOB的一直角边为1，在此三角形内任取点P，过P分别引三边的平行线，与各边围成以P为顶点的三个三角形（图中阴影部分），求这三个三角形的面积和的最小值以及达到最小值时P点的位置.

分析： 首先建立直角坐标系，然后建立三个三角形的面积和S与xP,yP的函数关系式，最后利用柯西不等式的变形公式求最值.

图2解析：分别取OA，OB所在直线为x轴，y轴建立如图２所示的直角坐标系，则AB所在直线的方程为x+y=1，记P点坐标为P(xP,yP)，则以P为公共顶点的三个三角形的面积和

S=12x2P+12y2P+12(1-xP-yP)2.

由柯西不等式的变形公式，得

S=x2P2+y2P2+(1-xP-yP)22

≥［xP+yP+(1-xP-yP)］22+2+2

=16．

当且仅当xP2=yP2=1-xP-yP2时，等号成立，即xP=yP=13时，面积和S最小，且最小值为Smin=16．

所以三个三角形的面积之和的最小值为16，此时点P到两直角边的距离均为13．

点评：解此题的关键是用P点的坐标表示出三个三角形的面积．观察图形，可以看出：靠近x轴的等腰直角三角形的直角边长为yP，靠近y轴的等腰直角三角形的直角边长为xP，靠近斜边的等腰直角三角形的直角边长为1-xP-xP．

例10 P为ABC内一点，D,E,F分别为P到BC,CA,AB各边所引垂线的垂足，求使BCPD+CAPE+ABPF求使取最小值时的P点.

解析：如图3，连接AP，BP,CP，设ABC的面积为S，则有

图3

BC・PD+CA・PE+AB・PF=2S．

由柯西不等式的变形公式，得

BCPD+CAPE+ABPF

=BC2BC・PD+CA2CA・PE+AB2AB・PF

≥(BC+CA+AB)2BC・PD+CA・PE+AB・PF

=(2p)22S=2p2S．（其中p为ABC的半周长）

当且仅当BCBC・PD=CACA・PE=ABAB・PF，即PD=PE=PF时，等号成立，BCPD+CAPE+ABPFmin=2p2S．

因而使BCPD+CAPE+ABPF取最小值时的P点是ABC的内心．

点评： 本题先利用柯西不等式的变形公式求出BCPD+CAPE+ABPF的最小值，再由柯西不等式的变形公式中取等号的条件得出PD=PE=PF，进而得出P点是ABC的内心.

例11 设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.求四边形AEBF面积的最大值.

解析： 依题意知：椭圆的方程为x24+y2=1,|BO|=1，|AO|=2，.如图４所示，由椭圆的对称性易知四边形AEBF的面积等于四边形AOBF的面积的两倍.

设点F（x,y）(x>0)，所以四边形AEBF的面积S=2(SOBF+SOAF)=x+2y.

由柯西不等式的变形公式，得

1=x24+y2=

x24+(2y)24≥(x+2y)24+4=(x+2y)28，

x+2y≤22，当且仅当x4=2y4，注意到x24+y2=1且x>0，即x=2时，上式取等号.

故四边形AEBF面积的最大值为22.

点评：观察目标函数S=x+2y的结构特征，将x24+y2变形为x24+(2y)24以便于利用柯西不等式的变形公式是求解问题的关键，敬请读者细细品味和充分领悟．