细谈法向量在立体几何中的作用

向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。介于中学生感觉立体几何难，解相关的题更难，介于这部分的分值在高考中的比重，本人就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何中有关问题中的应用。

一、利用法向量求线面角问题

知识衔接：设 为直线 与平面 所成的角， 为直线 的方向向量

与平面 的法向量 之间的夹角，则有 （图1）或 （图2）

（图1） （图2）

特殊情况： 时，= ， ； 时， =0， 或

例题：如图3，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB，侧棱AA1=2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G。求A1B与平面ABD所成角的大小。

（结果用反三角函数表示）

解：以C为坐标原点，CA所在直线

为x轴，CB所在直线为y轴，CC1所在

直线为z轴，建立直角坐标系O—xyz，

设CA=CB=a， 则A（a，0，0），B（0，a，0），

A1（a，0，2），D（0，0，1）

， ， ，

点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G，

平面ABD， ，解得a=2。

（ ）， （ ），

平面ABD， 为平面ABD的一个法向量。

由

得 ，

A1B与平面ABD所成的角为 ，即 。

评析：因规定直线与平面所成角 ， ，两向量所成角 ，

所以用此法向量求出的线面角应满足 。

二、利用法向量求二面角问题

知识衔接：设 分别为平面 的法向量，二面角

的大小为 ，向量 的夹角为 ，则有 （图4）或

= （图5）

（图4） （图5）

例题：如图6，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1=

D是CB延长线上一点，且BD=BC。（2）求二面角B1—AD—B的大小。

解：取BC的中点O，连AO。

由题意，平面ABC 平面 BCC1B1，AO BC，

AO 平面BCC1B1，

以O为原点，建立如（图6）所示空间直角坐标系O—xyz，则

A（0，0， ） ，B（ ，0，0） ，D（ ，0，0），B1（ ， ，0），

（ ）， （ ）， （ ），

由题意BB1 平面ABD， （ ）为平面ABD的法向量。

设平面AB1D的法向量 ，

则 ， ， ，

即 。 不妨设 ，

由 ， （图6）

得 。故所求二面角B1—AD—B的大小为 。

评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。

（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取 时，会算得 ，从而所求二面角为120°，但依题意只为 。因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角。所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”。

三、可利用法向量求点面距离问题

知识衔接：设 为平面 的法向量，A，B分别为平面 内外的点，则点B到平面 的距离 （如图7）

略证：

（图7） （图8）

例题：如图8，已知正四棱柱ABCD=A1B1C1D1，点E为CC1中点，

点F为BD1中点。（2）求点D1到平面BDE的距离。

解：以D为原点，建立直角坐标系，

则D（0，0，0），B（1，1，0），E（0，1，1），D1（0，0，2），

， ， ，

设平面BDE的法向量为 =（x，y，z），

则， ，

， ， 即 ，

不妨设 =（1，—1，1），则点D1到平面BDE的距离为

，即为所求。

由此可见，平面的法向量对解决立体几何中的角与距离的问题起到了很大作用，为解决空间的度量问题找到了一种很重要的方法，减少了学生学习度量问题的困难，同时通过使用向量方法学习立体几何，可使学生较牢固地掌握向量代数工具，从而丰富学生的思维结构和运用数学的能力。过去解决这类问题主要方法：一是“先找后求”，二是“等体积法”。前者要先找到（作出并证明）角与距离，然后构造三角形，应用勾股定理、余弦定理求解，这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧；后者需要用到体积公式。实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难，有了向量工具很多较难的空间计算问题就有了统一的方法求解。而法向量作为向量家族中的一个特殊成员，在立体几何的问题解决中更显示出它的优越性和灵活性，也越来越广泛地被广大师生所青睐和重视。

【参考文献】

1.全日制普通高级中学（试验修订本·必修）数学第二册（下B），人民教育出版社.

2.数学教学与测试（教师用书），苏州大学出版社，2002年12月第一版.

（作者单位：551200贵州省龙里中学）