天体问题大盘点(上)

万有引力定律是学习的难点,也是高考的重点和热点. 但万有引力定律部分内容比较抽象,习题类型较多,各种关系复杂,本文就万有引力定律的理解与应用举例分析,引导同学们理清思路,构建物理模型,寻找向心力的来源,熟练运用相应规律解决天体问题,提高解题速度.

笔者回顾多年备考心得,总结出天体问题的一条定律、两种思路、三个关系、四个一定、五个区别,与读者共享.

一、一条定律:万有引力定律

宇宙间的一切物体都是互相吸引的. 两个物体间的引力的大小,跟它们的质量的乘积成正比,跟它们的距离的平方成反比.

公式:F=G■,其中引力常量G=6.67×10-11 N・m2/kg2.

二、两条思路

思路1把天体的运动看成是匀速圆周运动,万有引力提供向心力:G■=ma,式中a表示向心加速度,而向心加速度又有a=■、a=ω2r、a=ωv、a=■几种表达式,要根据具体问题,把这几种表达式代入方程,求解相关问题.

思路2利用在中心天体表面或附近(包含中心天体上的物体和太空中低空环绕中心天体运动的物体),万有引力近似等于重力:G■=mg0(g0表示天体表面的重力加速度. 中心天体是地球时,g0取9.8 m/s2,对其他天体,据M和R的不同,g0取相应的值). 在研究卫星的问题中,若已知中心天体表面的重力加速度g0时,常运用GM=g0R2作为桥梁,把“地上”和“天上”联系起来,由于这个表达式代换作用大,通常被称为“黄金代换”式.

例1 地球质量为M,半径为R,自转角速度为ω,万有引力常量为G. 如果规定物体在离地球无穷远处的势能为0,则质量为m的物体离地心距离为r时,具有的万有引力势能可表示为Ep=-G■. 国际空间站是迄今世界上最大的航天工程,它是在地球大气层上空绕地球飞行的一个巨大的人造天体,可供宇航员居住和进行科学实验. 设空间站离地面的高度为h,如果在该空间站上直接发射一颗质量为m的小卫星,使其能到达地球同步卫星轨道并能在轨道上正常运行,问该卫星在离开空间站时必须具有多大的动能?

解析 由G■=■知,卫星在空间站上动能为Ek=■mv2=G■.

卫星在空间站上的引力势能为Ep=-G■.

卫星在空间站上的机械能为E1=Ek+Ep=-G■.

地球同步卫星在轨道上正常运行时有G■=mω2r,则其轨道半径

r=■.

故地球同步卫星的机械能E2=-G■=-■m■.

设离开航天飞机时卫星的动能为Ekx,卫星运动过程中机械能守恒,则

Ekx=E2-Ep=-■m■+G■.

三、三个关系:绕行速度、角速度、周期与半径r的关系

根据人造卫星的动力学关系可得:v=■, T=■, ω=■. 故有:线速度v与轨道半径的平方根成反比,角速度与轨道半径的立方的平方根成反比,周期与轨道半径的立方的平方根成正比.

例2 两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动,周期之比为TA∶TB=1∶8,则轨道半径之比和运动速率之比分别为()

A. rA∶rB=4∶1,vA∶vB=1∶2 B. rA∶rB=4∶1,vA∶vB=2∶1

C. rA∶rB=1∶4,vA∶vB=2∶1 D. rA∶rB=1∶4,vA∶vB=1∶2

解析 由T=■可得卫星的运动周期与轨道半径的立方的平方根成正比. 又由TA∶TB=1∶8可得轨道半径rA∶rB=1∶4. 再由v=■得线速度vA∶vB=2∶1. 故选C.

四、四个一定:同步卫星定周期、定速度、定位置、定高度

地球同步卫星是人为发射的一种卫星,它相对于地球静止于赤道上空. 从地面上看,卫星保持不动,故也称静止卫星;从地球之外看,卫星与地球共同转动,角速度与地球自转角速度相同,故称地球同步卫星. 地球同步卫星轨道严格处于地球赤道平面内,运行方向自西向东,运动周期为23小时56分(一般近似认为周期为24小时),不同的人造地球同步卫星的轨道半径、线速度、角速度、周期和加速度等均是相同的.

例3 据报道,我国数据中继卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升空,经过4次变轨控制后,于当年5月1日成功定点在东经77度赤道上空的同步轨道. 关于成功定点后的“天链一号01星”,下列说法正确的是()

A. 运行速度大于7.9 km/s

B. 离地面高度一定,相对地面静止

C. 绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大

D. 向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等

解析 本题综合考查卫星和同步卫星的有关知识、应用万有引力定律解题的基本思路,以及向心加速度的概念. 7.9 km/s是人造卫星的第一宇宙速度,是近地卫星的运转速度,也是人造卫星的最大运行速度,所以同步卫星的运行速度小于7.9 km/s,A项错误;据G■=m■(R+h)知,卫星的高度h=■-R,由于同步卫星的周期T(等于地球自转周期)确定,所以高度确定,B项正确. 同步卫星的周期(1天)比月球运转的周期(约28天)小,所以同步卫星比月球的角速度大,C项正确. 地球赤道上的物体和卫星的角速度相同,但半径不同,根据a=ω2r知,卫星的向心加速度大,D项错误. 故选B、C.