“转化”思想在小学数学中的应用

中国历史上有个很有名的故事――“曹冲称象”。年仅六岁的曹冲用许多石头代替大象,让石头的重量和大象等重,通过一次次称石头的重量,从而解决了困扰当时很多有学问的成年人的难题。他的聪明在于将“大”转化成“小”,将无法称的“大象”转化成可以称的“石头”。由此可见,转化的思想就蕴藏于我们的实际生活中。

日本著名数学教育家米山国藏指出:“学生所学的数学知识,在进入社会后几乎没有什么机会应用,因而这种作为知识的数学,通常在走出校门后不到一两年就忘掉了。然而不管他们从事什么工作,惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等随时地发生作用,使他们受益终身。”可见,教师在教给学生知识的同时,更应渗透数学思想与方法。小学数学教学中的数学思想有很多,其中“转化”的思想贯穿整个小学数学的教学,所以显得尤为重要。

“转化”作为一种基本的数学思想,虽然没有被单独、明显地提出来,但在小学各个年级都或多或少地有所涉及。那么在小学数学教学中如何去挖掘并适时地加以渗透呢?笔者根据自身的数学教学实践谈几点见解。

一、在推导计算公式时渗透“转化”的思想

平面图形的面积计算是小学数学教学的重要组成部分。如三角形、平行四边形的面积计算公式都是在长方形面积计算的基础上教学的。比如在教学《平行四边形面积计算》时,笔者是这样设计的。

在导入新课时,笔者首先出示一个长方形,要求学生说出其面积计算的方法:长×宽(a×b)。接着,笔者在图旁出示一个平行四边形,让学生思考这个平行四边形的面积怎样算。学生有两种回答:一是用数小方格的方法来算面积;二是两边相乘(a×b)。显然,第二种想法是错误的。笔者不去评判对错,而是肯定这位学生运用了“类推”的数学思想方法。然后,笔者从这位学生的错误想法引导开去,师生共同探讨,得出结论。这时将平行四边形左移至长方形图上,笔者引导学生比较:两个图形的面积一样大吗?(不一样大。)哪个大?大多少?经过仔细观察比较,学生发现右图中的阴影部分就是长方形面积比平行四边形面积大的部分。既然两个图形的面积不一样大,这位同学的a×b能算出平行四边形的面积吗?(不能。)学生懂得了这个想法是错误的。那么,这个平行四边形的面积到底怎样计算呢?今天我们就来学习《平行四边形面积的计算》(板书课题)。

新知识教学过程中,学生限于自己的知识水平,在思考的过程中出现一些错误想法是正常的。教师应在备课时“下水”思考,超前估计,顺势进行引导点拨,引出正确想法,为下面求平行四边形面积时需要用到它的高而不是斜边埋下伏笔。

在面积计算公式的推导过程中,笔者引导学生讨论:上图中平行四边形的面积应该怎样计算?有的学生将长方形外的小直角三角形平移进来,原来的平行四边形就变成了一个长方形。这个长方形的面积要用平行四边形的底乘以平行四边形的高来计算。笔者充分肯定了学生的发现,然后要求学生操作验证:上面的平行四边形经过平移之后,刚巧变成了一个长方形,我们能不能把任何一个平行四边形都转化成长方形呢?试试看。这一问题抛给学生后,笔者组织学生动手操作,通过割补的方法将平行四边形变成和它面积相等的长方形,让学生从中感受到转化的思想(如图1),进而根据平行四边形与长方形两者之间的关系,类推出平行四边形的面积计算公式。

在学生操作时,笔者进一步追问:是不是每个平行四边形都可以剪拼成长方形?平行四边形剪拼成长方形后,它的面积大小有没有改变?

学生通过多次验证,推导出平行四边形的面积公式,笔者提问:我们已经会求长方形的面积,那么怎样求平行四边形的面积呢?我们看,平行四边形的底和高分别相当于拼成的长方形的什么?板书:长方形的面积=长×宽,平行四边形的面积=底×高。

在此基础上,笔者进行了小结:各种平面图形是有一定联系的,也是可以互相转化的。我们将平行四边形转化为已经学过的长方形,从而找到了计算平行四边形面积的方法。这种方法,我们以后还会用到。

学生通过转化推导不仅可以经历从难到易,从未知到已知的过程,而且可体会转化思想在学习数学中的作用。转化指导也为学生以后学习梯形的面积计算提供了策略和方法。

二、计算教学中渗透“转化”思想

数学家波利亚曾说:“当原有问题看来不可解时,你不要忘记人类的文明之处,就在于迂回绕过不能直接克服的障碍,就在于像出某个设当的辅助问题。”这儿所指的“绕过不能直接克服的障碍”实质就是转化。在小学数学教学中,数学转化思想是“把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力”。例如口算125×56时,我们可将它转化成125×8×7,将56这个数转化成8×7这一条算式,从而避免繁琐的笔算过程。转化思想还表现为“把求解的过程转化为已有知识范围内可解的问题”。比如小数乘小数的计算教学中,就是将小数乘法转化成整数乘法来计算。例如计算3.6×0.18,先将它转化成36×18,再根据积的变化规律,最终得出积。

三、解决实际问题中渗透“转化”思想

如果数学思想是数学的灵魂,那么转化思想就是数学思想的核心和精髓,是数学思想的灵魂。“称象”的问题在今天看来已经不是一个难题了。类似于这样的问题有很多,如在计算不规则图形的面积(周长)时,将不规则的图形“转化”成学过的平面图形,从而可以运用面积(周长)公式轻松解决。例如图(2),如果用常规的思维很难解答,但如果转化思维,通过割补的方法,将其转化成长方形,难题便迎刃而解了。再如图(3),如果想求出左边图形的周长,需要了解各条边的数据,事实并非如此,我们只需稍作移动,并能将其转化成右边的长方形。看来解决类似问题的关键还是“转化”。通过转化,将未知转化为已知,将繁琐转化为简单,将抽象转化为具体。可以说解决数学问题时,“转化”思想几乎无处不在。

转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用转化的思想方法去解决数学问题时,没有一个统一的模式去进行。在数学操作中实施转化时,我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则,即遇到的问题,通过转化变成比较熟悉的问题来处理;或者将较为繁琐、复杂的问题,变成比较简单的问题;或者比较难以解决、比较抽象的问题,转化为比较直观的问题,以便准确把握问题的求解过程;或者从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作,转化过程省时省力,有如顺水推舟,经常渗透转化思想,可以提高解题的水平和能力。《小学数学课程标准》指出:课程内容,不仅包括数学结论,而且包括数学结论的形成过程和数学思想方法。可见数学思想是数学的灵魂,数学方法是数学的行为。教师应充分挖掘教材中的数学思想方法,让学生了解、学习并掌握这些思想方法,以便更好地、有效地开展自主学习。

本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文