基于倾斜油罐容表的校正与建模

摘 要：该问题的研究使用了具有对称性的空间体的特性以及微分的思想，首先求出无变位时卧式罐中的油量关于测得油面高度的公式。然后基于等效置换的思想，通过求得变位发生后所测得的油面高度转换到等油量下无变位时所对应的油面高度的关系，再利用无变位时卧式罐中的油量关于测得油面高度的公式计算出油量。在验证完上述两种情况下数学模型的有效性后利用它们计算出无变位和变位发生后所对应的罐容表。

关键词：卧式罐； 油面高度； 变位； 建模

中图分类号：TN911-34; TP311 文献标识码：A 文章编号：1004-373X(2011)24-0121-02

Calibration and Modeling of Capacity Table Based on Tilted Oil Tank

YUAN Jie, L Peng-ju, WANG Xiao-xia

(Department of Medical Information, Daqing Campus of Harbin Medical University, Daqing 163319, China)

Abstract： The characteristics of symmetrical space objects and the method of differential are used in this research. The amount in a horizontal storage tank is obtained by using a formula of measuring the oil-level height. Then based on the method of equivalent replacement, the amount of oil storage in a tilted oil tank is transformed into the oil-level height in an horizontal storage tank without the amount change. Finally, the amount of oil in an oil-storage tank with displacement can be obtained by using the amount of oil in the horizontal oil-storage tank and the formula of measuring the oil-level height. As the validity of the mathematical models were verified under the above-mentioned two conditions, the oil tank capacity tables with and without displacement were calculated.

Keywords： horizontal tank; oil-level height; displacement; modeling

典型的卧式金属罐都具有良好的对称性以及区域内可导的容积截面存在，但由于罐内液体的积分公式随构成卧式罐的筒体和顶板（封头）中顶板形状的不同而不同。因此从数学模型的建立的角度出发，将该问题分为讨论平顶卧式罐的问题和讨论球缺顶卧式罐的问题两部分分别进行校正与建模。

1 模型建立与校正

1.1 无变位

根据上述所提到的对称性和油面高度的不同，油量的计算有两种情况：一种是油面高度不大于油罐底短轴长1/2时，油量等于油所在的半个椭圆柱体的阴影部分面积与油罐长度之积；另一种是油面高度大于油罐底短轴长1/2时，油量等于油罐的总容积减去空气所在的半个椭圆柱体的阴影部分面积与油罐长度之积的差。因此可列得相应的数学模型如下：v0=s1(h)×l, h≤0.6

v－s1(2b－h)×l, h＞0.6

（1）而由图1可知：0.5s1=0.5s－0.5s2 从而可以通过求解更易于求积分的0.5s及其与0.5s2的差来求得0.5s1及s1。另外也可以根据椭圆的标准方程较容易地计算出在当前讨论范围内0.5s2的有效范围内x的取值范围为:［0,ba2bh－h2］。

（1） 求0.5s

已知x的取值范围，因此可得：0.5s=∫ba2bh－h20ds

（2）

ds=ba2bh－h2dx

(3) 把式(3)代入到式(2)中可得:0.5s=∫ba2bh－h20ba2bh－h2dx

(4) （2） 求0.5s2

由于:AO=BC=b－h，

AB=OC=ba2bh－h2 可得:0.5s2=(b－h)•ba2bh－h2

(5) （3） 求s1

把式(4)和式(5)代入到:0.5s1=0.5s－0.5s2 可得:s1=12s1×2=(12s+12s2)×2

=∫ba2bh－h20ba2bh－h2dx+

(b－h)ba2bh－h2×2

(6) 至此，把式(6)代入到式(1)中，便可以根据油面高度计算出所对应的油罐内油的体积。

1.2 变位后

根据以下条件在示意图上做等效油面辅助线得图2所示。

(1) 辅助线为直线；

(2) 辅助线与油罐的母线平行；

(3) 过辅助线而平行于油罐椭圆形的两底的长轴所在平面的平面作为等效油面时，按无变位的数学模型所得油罐内油的体积与实际油罐内油的体积相同。

根据油罐的对称性和图2，可以发现等效油面辅助线的另外2个特性：

（1） 辅助线在油罐内水平平移所形成的平面与现有油面必然相交，并且两面的交线必然是两平面在油罐侧面上的线的中点；

（2） 辅助线与现有油面的夹角等于油罐的倾斜角度。

为了方便讨论和建立模型，对图2进一步放大，并且进行编号并增加新的辅助线BC而得图3所示。

辅助线BC是过油浮子与现有油面的接触面的切点B作垂足C位于等效油面辅助线而垂直于等效油面的垂线段。因此，根据以上已知条件可以得知：BC=CO×tan α=(DO－DC)tan α

=(1.225－0.4)tan α 所以，设当前测量到的油面高度为h′,则有:h=h′－BC=h′－(1.225－0.4)tan α

(7) 至此，把式（7）代入到式（1）中，便可以根据油面高度计算出所对应的油罐内油的体积。

2 计算结果及分析

（1） 检验模型建立中所建立的数学模型是否能够在讨论范围内合理地反映事实。为此，通过使用所得的数学模型进行代入附件中实验，获得的油面高度的实验值（实际值），计算出对应油面高度下的油量的预测值。对应的油量的实验值（实际值）。通过使用Matlab软件和Excel软件进行计算和统计后得到图4。

如图4所示，数据在进行t-检验（成对双样本均值分析）后得到的泊松相关系数为0.999 935 021。

如图5所示数据在进行t-检验（成对双样本均值分析）后得到的泊松相关系数为0.982 459 834。

3 结 语

根据图表及所用数据在进行t-检验（成对双样本均值分析）后得到的泊松相关系数，可以认为所建立的数学模型在本问题的讨论范围中能够正确地反映现实。

参 考 文 献

［1］ 杨永勤,张洪英,司洋.Excel软件在罐容计量中的应用［J］.油气储运，2008,27（11）：57-59.

［2］ 中国计量科学研究院.JJG 266-1996卧式金属罐容积检定规程［S］.北京：国家技术监督局，1996.

［3］ 胡守信,李柏年.基于Matlab软件的数学试验［M］.北京:科学出版社,2004.

［4］ 范金城,梅长林.数据分析［M］.北京:科学出版社,2004.

［5］ 杨启帆.数学建模［M］.北京:高等教育出版社,2005.

［6］ 戴尔•沃伯格,埃德温J 珀塞尔,史蒂文E 里格登，等.微积分［M］.8版.北京:工业机械出版社,2002.

［7］ 韩西安,黄希利.数学实验［M］.北京:国防大学出版社,

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［8］ CORMEN T H.，LEISERSON C E.，RIVEST R L，et al. 算法导论［M］.潘金贵，顾铁成，李成法，等,译.2版.北京：机械工业出版社，2006.

作者简介: 原 杰 女，1965年出生，副教授。研究方向为系统分析与建模。

吕鹏举 男，1984年出生，助教，硕士研究生。研究方向为系统分析与建模。

王晓霞 女，1965年出生，高级实验师。研究方向为建模实验。