不等式中恒成立问题求解的基本策略与方法

摘 要：本文研究解不等式恒成立问题基本方法，得出一般性解题规律。

关键词：不等式 恒成立 求解策略

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）04（c）-0105-01

在不等式综合问题中，经常会遇到当一个结论对于某一参数的某一个取值范围的所有值都成立的问题，这就是不等式中的恒成立问题，这类问题综合性强，解法灵活，对思维能力要求较高，有利于考查考生的综合解题能力。解答此类问题的基本策略是：利用化归与转化思想，将未解决的问题化归转化为已解决的函数问题，利用函数的性质、图象，通过灵活的代数变形求解。基本的方法有以下几种。

1 最值转化法

所谓最值转化法是指：形如 f （x）≥g（k）或 f （x）≤g（k）的不等式对于给定范围内的一切x恒成立，求k取值范围时，可转化为与之等价的命题g（k）≤f （x）min或g（k）≥f （x）max即可。

例1：设x>f >z，n∈N，且（x-z）（+）≥2a+2恒成立，则实数a的取值范围是 。

解：x>f >z，x-z=（x-f ）+（ f -z）。

（x-z）（+）=[（（x-f ）+（ f -z）] （+）

=2++≥4（当且仅当x+z=2y时取等号）。

4≥2a+2，即a≤1。

即满足条件的实数a的取值范围是（-，1]。

点评：运用最值转化法要理解两个转化式：f （x）≥g（k）恒成立f （x）min≥g（k），f （x）≤g（k）恒成立f （x）max≤g（k），依此转化为求函数的最值问题与解不等式问题。

2 参数分离法

若在不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等式的两边，写成g（λ）≥f （x）或g（λ）≤ f （x）恒成立形式，再利用最值转化法求解。

例2：设函数 f （x）=x2-1，对任意x∈[，+），f （）-4m2f （x）≤f （x-1）+4f （m）恒成立，则实数m的取值范围是_______ 。

解：f （x）=x2-1知 f （）-4m2f （x）≤f （x-1）+4 f （m）（4m2+1-）x2-2x-3≥0

4m2+1-≥在x∈[，+）恒成立4m2+1-≥（）max。

又=+=3（+）2-，x∈[，+），∈（0，]，

（）max=3（+）2-=，4m2+1-≥（3m2+1）（4m2-3）≥0，

m2≥，即m≤-或m≥，故填（-，][，+）.

点评：最值转化法与参数分离法是解不等式中恒成立问题最常用的两种方法，两种方法实质一致，只是利用最值转化法时只含参数的项（也可含常数项）项已经置于不等号的一侧，而采用参数分离法时，参数和另一个变量混杂在一起置于不等式的一侧.参数分离时一定要把含参数的式子放在不等号的一边，不含参数的式子放在另一边，若参数不能分离，则不能使用此法。

3 一次函数法

给定一次函数y=f （x）=kx+b（k≠0），若y=f （x）在[m，n]内恒有f （x）>0，则根据一次函数的图象（线段）可得上述结论等价于

①或②也可合并成

同理，若在[m，n]内恒有f （x）

此结论可推广至k=0的情形。

例3：对于（0，3）上的一切实数x，不等式（x-2）m

解：设f （x）=（x-2）m-（2x-1）=（m-2）x+1-2m，将它看成是关于x的直线，由题意知在区间（0，3）间线段横在x轴的下方。

所以解得≤m≤5。

点评：利用一次函数的性质，对于f （x）=kx+b，x∈[m，n]，有f （x）>0 f （x）

4 变量转换法

某些含参数的不等式恒成立问题，在分离参数时会遇见讨论的麻烦或即使容易分离出参数与变量，但函数的最值难以求出时，可考虑将变量与参数交换位置，把参数看作变量，变量看作参数，构造新的函数，一般是一次函数，再利用其性质求解。

例4：对于满足0≤a≤4的一切实数，不等式x2+ax>4x+a-3恒成立，求实数x的取值范围。

解：不等式x2+ax>4x+a-3恒成立，即（x-1）a+x2-4x+3>0恒成立。

令f （a）=（x-1）a+x2-4x+3，a∈[0，4]，图象是一条线段，要使f （a）>0在[0，4]上恒成立，只须满足：

解得x3。

故实数x的取值范围是（-，-1）（3，+）。

点评：本题把变量为x的不等式看作变量为a的不等式，再利用一次函数的单调性求解。当一个不等式在一次变量的某个取值范围内恒成立，求二次变量的取值范围时，可考虑这种变量转换法。

总之，求解不等式中的恒成立问题的基本思路就是化归与转化，把复杂的问题等价转化为简单的、容易解决的问题。要做到正确的、灵活的转化，就要求同学们对典型问题的典型解法加以研究并自觉地疏理知识，形成知识板块结构和方法体系，在此过程中不断提高自己的数学解题能力。