对两定点距离关系的探究

〔关键词〕 数学教学；两定点；距离

〔中图分类号〕 G633.6 〔文献标识码〕 C

〔文章编号〕 1004—0463（2014）03—0090—01

在平面解析几何的学习过程中，我们已经知道椭圆和双曲线的定义，即都是研究关于平面内一动点与两个定点的距离关系的.课本中这样定义：“平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹”叫椭圆，“平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹”叫双曲线.下面，我们进一步来探究其他一些与两定点距离有关系的点的轨迹问题（仍引用教科书建立的坐标）.

探究一：到两定点的距离积为定值的点的轨迹（d1×d2=m（m>0））.

探析：由■·■=m，两边平方，化简得：x4+y4+2x2y2-2c2y2+c4-m2=0，整理后得y= ±■

（1）由曲线方程的特征可知曲线是关于x轴、y轴成轴对称图形，且关于原点成中心对称图形；

（2）在方程中令x=0，得y4+2c2y2+c4-m2=0，（y2+c2-m）（y2+c2+m）=0

则y2=m-c2 或 y2=-c2-m （y2

当m>c2时，方程所表示的曲线与y轴交于两点（0，±■）；

当m=c2时，方程所表示的曲线与y轴交于一点（0，0）；

当m

（3）令y=0，得：x4-2c2x2+c4-m2=0，（x2-c2+m）（x2-c2-m）=0

则x2=c2-m或 x2=c2+m，

当m>c2时，方程所表示的曲线与x轴交于两点（±■，0）；

当m=c2时，方程所表示的曲线与x轴交于三点 （0，0），（±■，0）；

当m

由以上（1）、（2）、（3）综合分析可得：

当m>c2时，方程所表示的图形为图1，我们可以称其为“花生型”；当m=c2时，方程所表示的图形为图2，我们可称其为“倒8字型”；当m

探究二：到两定点的距离之比为定值的点得轨迹（■=a（a>0））.

探析：由■ =a，两边平方化简得（x-■c）2+y2=（■）2.可以看出，当a≠1时其轨迹是以（■，0）为圆心，■为半径的圆；

当a=1时，参看d1=d2时的情况.这其实也是圆的另外一种定义，它是“阿波罗尼奥斯”圆，简称“阿氏”圆.

探究三：到两定点距离的平方和为定值的点的轨迹（d12+d22=a）.

探析：由（x+c）2+y2+（x-c）2+y2=a，化简得：x2+y2=■-c2 .

当2c2a时，轨迹不存在（2c2>a）；当2c2=a时，点的轨迹就是原点.

探究四：到两定点距离的平方差为定值的点的轨迹，即d12-d22=a的情形.

探析：由（x+c）2+y2-（x-c）2-y2=a，化简得x=■.因此，点的轨迹是垂直于x轴的直线.