时间：2022-10-17 05:53:13
[摘 要] 本文主要依据对特征值和特征向量以及若尔当标准形的研究来讨论n阶方阵的可对角化问题，得出判定n阶方阵可对角化的几个充要条件以及对相应定理的推论和引理的探讨。并且对n阶方阵的特殊形式即n阶实对称矩阵特殊性质进行简单介绍。
[关键词] 方阵；可对角化；若尔当标准形；实对称矩阵
【中图分类号】O151.21 【文献标识码】 A 【文章编号】 1007-4244（2013）10-084-2
一、引言
矩阵的可对角化，是指矩阵和对角阵之间的相似，而线性变换的可对角化则是指其在特定基下是对角阵，同样可以把问题归为矩阵是否可对角化。通过对n阶方阵作初等变化是否可得到一个上三角阵来判断该矩阵与对角阵的相似性，但对于高阶方阵其计算过程相当烦琐，而本文则主要通过讨论n阶方阵可对角化的充要条件来简化对其的判断过程。
定义1：设定一n阶方阵A，如存在数？姿和非零向量X，且满足AX=？姿X，那么？姿就被称为矩阵A的特征值，且X是对应于的特征向量，称V？姿={α│Aα=？姿α}为矩阵A对应于特征值？姿的特征子空间。
定义2：假定数域P上的一个n阶方阵，如果多项式？蕊（x）？缀P[x]，使？蕊（A）=0，则称？蕊（x）为矩阵A的零化多项式。
定义3：在数域P上的次数最低，首项为1，且以A为根的多项式称之为A的最小多项式。
二、从特征值，特征向量和若尔当标准形入手讨论n阶方阵可对角化的相关条件
（一）从特征值和特征向量的角度出发探讨关于n阶方阵的可对角化条件
定理1： n阶方阵的可对角化充要条件是其存在n个线性无关的特征向量。
证明：必要性：由已知可得，有可逆矩阵P，使
把矩阵按列分块，记每一列矩阵为P1，P2，…，Pn，有
即 [AP1，AP2，…，APn]= [？姿1P1，？姿2P2，…，？姿nPn]于是有APi=？姿iPi， i-1，2，…，n。
矩阵P上的列都是A的特征向量，同时P可逆，所以可得P1，P2，…，Pn是A的n个线性无关特征向量，同时？姿1？姿2，…，？姿n是A的特征值。
充分性：如果A存在n个线性无关特征向量P1，P2，…，Pn，可知APi=？姿iPi i=1，2，…，n，且？姿i是对应于特征向量Pi的特征值，以Pi为列作矩阵P=[P1，P2，…，Pn]，因为P1，P2，…，Pn线性无关，所以矩阵P是可逆的。
从以上证明可推出以下结论：
1.相似于矩阵A的对角矩阵，其主对角线上的元素为A的特征值，相似变换矩阵的列是A的n个线性无关的特征向量。
2.位于主对角线上的？姿1？姿2，…，？姿n顺序相对应于对应特征向量在P中的顺序，假设的顺序发生改变，则在中的顺序也会产生相应变化，但是此时的P就与原来的P产生了不同，所以可以得知相似变换矩阵不唯一，假设不计？姿i的排列次序，则对角矩阵唯一且称之为A的相似标准形。
定理2：矩阵的属于相异特征值的特征向量线性无关。
由此可以得出推论：n阶方阵A的可对角化，其充分条件是具有n个互异特征值。
因而导出如下疑问，若有重根，n阶矩阵的可对角化需要满足的条件包括哪些？
定理3：n阶矩阵的可对角化，其充要条件为：对应A的各特征值的特征向量，其线性无关的最大个数与特征值的重数相等（即A的各特征子空间维数与特征值重数相等）。 即可以表述为：矩阵A的各特征值的（代数）重数与相应子空间的（几何）重数相等。
（二）用矩阵及若尔为标准形以探讨矩阵的可对角化问题
定理4：复数域上，各n阶矩阵A都相似于某一若尔当标准形。抛除其中若尔当块的排列次序，此若尔当形矩阵A是被矩阵唯一决定的，因而被称之为A的若尔当标准形。
相似为等价关系，由此可知，相似于同一矩阵A的矩阵都具有同样的若尔当标准形。以此为基础， n阶方阵可以被划分为以若当标准形作代表元素的等价类，且等价类中的各元素具有相似性。从若尔当标准形的构造可以得知，其特有情况为对角形矩阵。
三、n阶实对称矩阵的可对角化讨论
在实用过程中存在一类非常重要的矩阵，即n阶实对称阵一定可对角化，且任一实对称阵A都存在一正交矩阵，使T-1AT为对角阵，即n阶实对称矩阵有n个线性无关的正交特征向量。
定理6：设定n阶实对称矩阵A、B，若与相似，则A与B合同。
证：A与B相似，那么它们有相同的特征值，设为？姿1？姿2，…，？姿n，由A、B为n阶实对称矩阵知，特征值全为实数，且存在正交矩阵P、Q，使
由于正交矩阵的逆、乘积还是正交矩阵，因此QP-1也为正交矩阵，
参考文献：
[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）[M].北京：北京大学高等教育出版社，1979.
[2]姜家辉.矩阵理论基（第一版）[M].大连：大连理工大学出版社，1995.
[3]张禾瑞，郝.高等代数（新编第四版）[M].北京：高等教育出版社，1994.
作者简介：王治萍（1985-），女，汉族，山西朔州人，大同大学朔州师范分校教师，研究方向：矩阵理论。