例谈不等式的构造法证明

【摘要】不等式证明是中职和高中阶段数学教育很重要的一个知识点，由于其涉及的知识面广泛，难易程度差距大，综合性强，是考查学生数学知识和逻辑思维很好的工具，可谓是考试的重中之重.本文仅就不等式的构造法证明进行归纳，剖析了9种构造方式，基本涵盖了不等式涉及的各相关知识点，以起到抛砖引玉的作用.

【关键词】中职教育；数学；不等式；构造法；证明

所谓“构造法”是指在数学问题中给已知相关条件，赋予恰当的实际意义，构造出某种数学模型并利用其性质来解决实际问题的方法.它体现了“化归”的数学思想，在解决许多难题起到“柳暗花明”的效果.本文就构造法证明不等式来做以介绍，权当抛砖引玉.

1.构造三角函数

例1已知 a≤1，b≤1.

求证：ab+（1-a2）（1-b2）≤1.

解析观察所给条件和结论，发现具有对称性且满足正、余弦函数变化范围，可联想到构造三角函数，使结论式变无理为有理，利用三角公式多，联系广，变化活的特点，把一些问题转化到三角问题，以打开思路.

2.构造一元二次方程判别式

例2求证 12≤tan2α+tanα+1tan2α+1≤32.

解析由于tanα是任意实数，最高为二次且分式比值介于两个实数之间，可联想到一元二次方程它的两实根把实轴分成三部分，构造出一个形如f1x2+f2x+f3=0的方程，（其中f1，f2，f3是包含已知条件的实函数）则该方程必有实数解，利用其判别式来界定f1，f2，f3的满足条件，从而得证该不等式.

由以上可知，构造法多应用于一些具有“对称性”的问题，在该类问题中由于所给条件地位相等，因此可以构造一些特殊图形或模型来解决问题，至于如何提高构造想象力，这需要在熟悉掌握数学基本知识的基础上善于总结和领会各种方法思路，勤于思考、精于推理、养成严谨灵活多变的思维能力才能把自己的数学知识转化为数学能力.

运用构造法解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，在实际教学中，我们应该通过构造法解题训练学生发散思维，谋求最佳的解题途径，达到思想的创新.

【参考文献】

[1]李爱清.通过类比联想寻找解题思路和方法.数学通报，2006.2.

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