第32讲 直线与圆锥曲线

考情分析

从近三年的高考试题来看，直线与圆锥曲线的位置关系是高考的必考内容，主要涉及曲线与方程的求法、弦长、最值、定点等问题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属于中等偏高.题型以解答题的形式居多，这类问题往往综合性强，注重与一元二次方程中根的判别式、韦达定理、函数的单调性、不等式、平面向量等知识相结合.重点考查基础知识、通性通法及常用技巧，重在考查学生的基本数学素质和数学能力，具有较高的区分度.所以在备考时要重视运算能力的培养与训练，提高运算的速度与准确度.预计在2015年高考中，直线与圆锥曲线的位置关系的主观题仍将是考查的重点.

命题特点

近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考解答题压轴题的位置，且选择、填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等.分析这类问题，往往利用数形结合的思想、“设而不求”的方法、对称的方法及韦达定理等.

1. 直线与圆锥曲线的位置关系

例1 设抛物线[y2=8x]的准线与[x]轴交于点[Q]，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 （ ）

A. [-12，12] B.[-2，2]

C.[-1，1] D.[-4，4]

解析 由题意得Q（-2，0）.设l的方程为y=k（x+2），代入y2=8x得，k2x2+4（k2-2）x+4k2=0，当k=0时，直线l与抛物线恒有一个交点；当k≠0时，Δ=16（k2-2）2-16k4≥0，即k2≤1，-1≤k≤1，且k≠0.综上，-1≤k≤1.

答案 C

点拨 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数.对于选择题、填空题，常利用几何条件，利用数形结合的方法求解.

2. 弦长及中点弦问题

例2 若直线l与椭圆C：[x23]+y2=1交于[A，B]两点，坐标原点O到直线l的距离为[32]，求[AOB]面积的最大值.

解析 设[A（x1，y1），B（x2，y2）].

（1）当[ABx]轴时，[|AB|=3].

（2）当[AB]与x轴不垂直时，设直线[AB]的方程为y=kx+m.由已知得，[m1+k232]，即m2=[34]（k2+1）.把y=kx+m代入椭圆方程，整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0.

x1+x2=[-6km3k2+1]，x1x2=[3m2-13k2+1].

|AB|2=（1+k2）（x2-x1）2=（1+k2）・[36k2m23k2+12-12m2-13k2+1]

[=3k2+19k2+13k2+12=3+12k29k4+6k2+1].

当k≠0时，[3+129k2+1k2+6≤3+122×3+6=4]，

当且仅当9k2=[1k2]，即k=±[33]时等号成立.此时[|AB|=2]；当k=0时，[|AB|=3]，综上，[|AB|max=2].

当[|AB|]最大时，[AOB]面积取最大值Smax=[12]×[|AB|max×32]=[32].

点拨 当直线（斜率为[k]）与圆锥曲线交于点[A（x1，y1），B（x2，y2）]时，则[|AB|=1+k2・|x1-x2|=1+1k2] [|y1-y2|]，而[|x1-x2|=x1+x22-4x1x2]，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解.

3.圆锥曲线中的最值（或取值范围）问题

例3 已知椭圆[x22]+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点.

（1）求过点O，F，并且与直线l：x=-2相切的圆的方程；

（2）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于[A，B]两点，线段[AB]的垂直平分线与x轴交于点[G]，求点[G]横坐标的取值范围.

解析 （1）a2=2，b2=1，c=1，F（-1，0），

圆过点O，F，圆心M在直线x=[-12]上.

设M[-12，t]，则圆半径r=[32]，

由|OM|=r得， [-122+t2]=[32]，解得t=±[2].

所求圆的方程为[x+122]+（y±[2]）2=[94].

（2）设直线[AB]的方程为y=k（x+1）（k≠0），

代入[x22]+y2=1，整理得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0.

直线[AB]过椭圆的左焦点F且不垂直于x轴，

方程有两个不等实根.

如图，设A（x1，y1），[B]（x2，y2），[AB]中点N（x0，y0），

则x1+x2=[-4k22k2+1]，x0=[12]（x1+x2）= [-2k22k2+1]，

y0=k（x0+1）=[k2k2+1]，

[AB]的垂直平分线NG的方程为y-y0=-[1k]（x-x0）.

令y=0，得xG=x0+ky0=[-2k22k2+1+k22k2+1]

[=-k22k2+1=-12+14k2+2]，

k≠0，[-12]

点G横坐标的取值范围为[-12，0].

点拨 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.

4. 定值（定点）问题

例4 椭圆有两顶点A（-1，0），B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C，D两点，并与x轴交于点P.直线AC与直线BD交于点Q.

（1）当[|CD|=322]时，求直线l的方程.

（2）当点[P异于A，B]两点时，求证：[OP?OQ]为定值.

解析 （1）[l]的方程：[y=±2+1].过程见第29讲椭圆的例3.

（2）直线l与x轴垂直时与题意不符.

设直线l的方程为y=kx+1（k≠0且k≠±1），

所以P点坐标为[-1k，0].

设[C]（x1，y1），[D]（x2，y2），由（1）知，

x1+x2=[-2kk2+2]，x1・x2=[-1k2+2]，

直线[AC]的方程为y=[y1x1+1]（x+1），

直线[BD]的方程为y=[y2x2-1]（x-1）.

联立两直线方程，消去y得，[x+1x-1=y2y1?x1+1x2-1].

因为-1

[x+1x-12=y2y12?x1+12x2-12]=[1+x11-x1?1+x21-x2]=[k-1k+12].

又y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1

=[21-k1+kk2+2=-21+k2k2+2?k-1k+1]，

[k-1k+1]与y1y2异号，[x+1x-1]与[k-1k+1]同号，

[x+1x-1]=[k-1k+1]，解得x=-k.

因此Q点坐标为（-k，y0）.

[OP?OQ]=[-1k，0]・[-k，y0]=1.

故[OP?OQ]为定值.

点拨 解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值.化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况.

备考指南

1. 加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想，设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.

2. 关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法.利用引入一个参数表示动点的坐标x，y，间接把它们联系起来，减少变量、未知量.有些题目还常用它们与平面几何的关系，利用平面几何知识会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果.

3. 直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们组成的方程是否有实数解转化成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.

4. 当直线与圆锥曲线相交时，涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长（即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.

限时训练

1. 设双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的一条渐近线与抛物线[y=x2+1]只有一个公共点，则双曲线的离心率为 （ ）

A. [54] B. [5]

C. [52] D. [5]

2. 过点（0，2）与抛物线[y2=8x]只有一个公共点的直线有 （ ）

A.1条 B.2条

C.3条 D.无数条

3. 已知任意[k∈R]，直线[y-kx-1=0]与椭圆[x25+y2m=1]恒有公共点，则实数[m]的取值范围是 （ ）

A. （0，1） B. （0，5）

C. [1，5）∪（5，+∞） D. [1，5）

4.直线[4kx-4y-k=0]与抛物线[y2=x]交于[A，B]两点，若[|AB|=4]，则弦[AB]的中点到直线[x+12=0]的距离等于 （ ）

A. [74] B.2

C. [94] D.4

5.直线[y=kx-k+1]与椭圆[x29+y24=1]的位置关系为 （ ）

A.相交 B.相切

C.相离 D.不确定

6.抛物线[y2=2px]与直线[2x+y+a=0]交于[A，B]两点，其中点[A]的坐标为（1，2），设抛物线的焦点为[F]，则[|FA|+|FB|]的值等于 （ ）

A.7 B.3[5]

C.6 D.5

7. 已知双曲线[x2a2-y2b2=1]的右焦点为[F]，若过点[F]且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ）

A.（1，2） B.（1，2]

C.[2，+∞） D.（2，+∞）

8.斜率为1的直线[l]与椭圆[x24]+[y2]=1交于不同两点[A，B]，则[|AB|]的最大值为 （ ）

A.2 B.[455]

C.[4105] D.[8105]

9.已知抛物线y2=4x的焦点为[F]，准线为l，经过[F]且斜率为[3]的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则[AKF]的面积是 （ ）

A.[43] B.[33]

C.4 D.8