“新定义四边形”问题

在近几年各地的中考试题中，出现了一类在题干中给出某种特殊四边形的定义并要求据此研究相关问题的题目，我们把这类题统称为“新定义四边形”问题.这类试题较好地考查了同学们的阅读理解能力、知识迁移能力和灵活运用知识解决实际问题的能力．下面，从各地中考试题中精选几例，加以分析，帮助同学们掌握这类题的解法.

例1阅读短文，解答下列问题.

如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好”矩形．如图1-①所示，矩形ABEF即为ABC的“友好”矩形．显然，当ABC是钝角三角形时，其“友好”矩形只有一个．

（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好”平行四边形.

（2）如图1-②，若ABC为直角三角形，∠C=90°，画出ABC的所有“友好”矩形，并比较这些矩形面积的大小.

（3）如图1-③，若ABC是锐角三角形，且BC>AB>AC，画出ABC的所有“友好”矩形；指出其中周长最小的矩形，并加以证明．

（2005年四川省资阳市）

分析：本题主要考查同学们的知识迁移能力.问题（1）给出三角形的“友好”矩形的定义，要求据此推出三角形的“友好”平行四边形的定义，这就要求同学们能准确把握概念的内涵．问题（2）、（3）要求根据三角形的“友好”矩形的定义，参照钝角三角形“友好”矩形的图示，分别作出直角三角形和锐角三角形的“友好”矩形.而问题（2）中得出的关于三角形的各“友好”矩形面积关系的结论是解答问题（3）的条件.

解：（1）如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好”平行四边形.

（2）如图2所示，ABC共有2个“友好”矩形，即矩形BCAD和矩形ABEF．

易知，矩形BCAD和矩形ABEF的面积都等于ABC面积的2倍，所以ABC的两个“友好”矩形面积相等．

（3）如图3所示，ABC共有3个“友好”矩形，即矩形BCDE、矩形CAFG和矩形ABHK；其中矩形CAFG的周长最小．证明如下：

易知，ABC的三个“友好”矩形的面积相等，设三个“友好”矩形的面积均为S，矩形BCDE、矩形ABHK、矩形CAFG的周长分别为L1、L2、L3.ABC的边长BC=a，AB=b，AC=c，则 L1=■+2a，L2=■+2b，L3=■+2c．所以L1- L2=■+2a-■+2b=

2（a-b）■．而a＞b，且易知ab＞S，所以L1- L2＞0，即L1＞L2．同理可得L2＞L3．所以L3最小，即矩形CAFG的周长最小．

例2阅读理解并解答问题.

给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是给定矩形周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图4，矩形A′B′C′D′是矩形ABCD的“加倍”矩形．

（1）边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？如果存在，求出“加倍”正方形的边长；如果不存在，说明理由．

（2）当矩形的长和宽分别为m、n时，它是否存在“加倍”矩形？请作出判断，并说明理由．

(2006年内蒙古自治区鄂尔多斯市)

分析：解答问题（1）的关键在于根据“加倍”矩形的定义进行推理.解答问题（2）需要建立方程模型，并利用一元二次方程的判别式进行推理．

解：（1）不存在．

因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，面积比必定是4，所以正方形不存在“加倍”正方形．

（2）存在．

设“加倍”矩形的长和宽分别为x、y，则x+y=2（m+n），xy=2mn.

设x、y是关于z的方程z2-2z（m+n）+2mn=0的两个正根．因为b2-4ac=[-2（m+n）]2-8mn=4m2+4n2，且m>0，n>0，所以4m2+4n2>0，所以方程有两个不相等的正实数根x和y，即存在一个矩形是已知矩形的“加倍”矩形．

思考正方形不存在“加倍”正方形，那么正方形存在“加倍”矩形吗？

例3定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．

（1）识图：如图5，在损

矩形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，则该损矩形的直径是线段＿＿＿＿＿.

（2）探究：①在损矩形ABCD内是否存在点O，使得A，B，C，D四个点都在以O为圆心的同一个圆上？如果存在，请指出点O的具置，并说明理由；②直接写出你所探究出的损矩形ABCD所具有的三个性质（不能再添加任何线段或点）．

（3）实战：如图6，已知三条线段a、b、c．求作：相邻三边长顺次为a、b、c的损矩形ABCD．（只能用直尺和圆规作图，不要求写作法及证明，但要保留作图痕迹）

（2006年福建省南平市）

分析：本题让同学们通过阅读，认识“新定义”图形.问题（1）考查对“新定义”图形定义的理解；问题（2）要求根据定义，进行探究，不但要解答问题，而且要自己发现、总结“新定义”图形的性质，结论具有一定的开放性．问题（3）通过作图考查对知识的运用.

解：（1）AC.

（2）①存在点O，它是线段AC的中点，使得A、B、C、D四个点都在以O为圆心的同一个圆上.证明如下：

连结BO、DO.根据“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，可得AO=BO=CO=DO= AC．所以A、B、C、D四个点都在以O为圆心、AO为半径的圆上.

②损矩形的一组非直角对角，必定一个是钝角，一个是锐角；损矩形有外接圆，圆心在其直径中点；损矩形的两对角线中直径长.（其他合理答案亦可.）

（3）作法较多，如图7等．

注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”