在微积分教学中融入数学建模的思想

摘 要： 微积分知识广泛应用于解决实际问题，数学知识应用于实际的桥梁是数学建模。将建模思想融入微积分教学不仅能使学生生动形象地学到知识，还能培养学生解决实际问题的能力。

关键词： 微积分； 数学模型； 数学建模

中图分类号： G642文献标识码： A 文章编号： 1009-8631（2011）08-0097-02

自从Newton 和Leibniz发明微积分以来，微积分在阐明数学、物理、工程技术、生物以及科学等方面的问题时展示出了强大威力。因此，几乎所有大学生都要学习高等数学（微积分），其中很多内容与一些实际问题的数学模型中要解决的数学问题密切相关，例如：导数在优化问题中的应用，积分在自然科学与社会科学中的应用等。因此在讲述这些内容时，把数学建模的思想和方法融入进去十分自然，把一些实际问题或者有强烈实际应用背景的问题的数学模型融入课堂教学中，学生不仅能初步学到数学建模的思想和方法，更能进一步深刻体会到数学的重要性，更有兴趣、更加主动地学习数学。

1 我国微积分教学改革的背景和现状

1.1 教材内容和实际脱节

我国的微积分教材主要是将定义、定理、公式、证明罗列汇集在一起，可以说是一副没有“血肉”的“干骨头架子”，学生很难看懂，实际上微积分的数学核心内容虽然相当稳定，但是微积分的应用却越来越广泛，而我们的教材涉及到的应用问题基本上还是微积分在物理、几何中的传统应用，缺少时代气息，感觉所学知识与现代实际问题相距甚远，降低了学生的学习兴趣。

1.2 教学方法落后

许多高校的微积分教学体系基本上还处于传统模式之下，采用注入式。在教学上过分强调理论的严谨性，注重严密的逻辑推理。虽然使学生具备了比较扎实的理论基础，但忽视了微积分教学中的直观化和形象化，使内容抽象难学。同时由于教学中不重视微积分的应用性和实际意义，学生学完了也不知道有什么用，更谈不上主动去用。至使学生学习兴趣低，微积分课程教学效果不好。

绝大多数高校开设了数学建模和数学实验课程，但在许多高校，数学建模和数学实验课程只是个别院系开设的学时很少的课程，或是为参加数学建模竞赛的学生开设的。如何充分利用现代技术，使计算机成为微积分教学的有力工具，并将数学建模的思想和过程融入微积分教学中，是我国微积分教学改革面临的重要任务。

2 在微积分教学中融入数学建模的思想

微积分教学应注意加强建模意识，培养学生应用微积分方法解决实际问题的能力。一些可以用微积分模型来描述的问题，如疾病传染、人口增长、种群竞争等问题，应在教学中引导学生通过建立数学模型来解决。一些重要模型的求解和分析应在教学中有所反映，比如Logistic模型能描述人口、生态、广告等许多领域的问题。在微积分教学中融入数学建模的思想是加强数学的应用、激发和培养数学学习兴趣的最佳方式，通过建模活动还可以改善教学内容与应用脱节的状况，促进学生尽早接触微积分的应用领域。具体融入的教学单元有：

2.1 导数的意义

在介绍导数的意义时，除了可以介绍教材中物理、几何方面的传统应用，还可以与时俱进，引入经济学中的边际函数、弹性系数和化学中的衰变率、浓度改变率等， 以使学生感觉到导数在现代实际问题中的应用，了解导数的意义。

2.1.1边际函数

经济学家经常把一个函数的导数称为该函数的边际值。例如：总成本C(x)是指生产一定量产品所消耗的全部成本。边际成本C′(x)是指每增加一单位产品所增加的成本；总收益R(x)是厂商销售一定量产品得到的全部收入。边际收益R′(x)是厂商每增加一单位产品所增加的收入；总利润P(x)是总收益减去总成本。边际利润P′(x)等于边际收益减去边际成本。

例1某企业生产一种产品，每天的总利润P(x)（元）与产量x（吨）之间的函数关系是P(x)=250 x－5x2 ，其边际利润P′(x)=250－10 x。

分析： 当x=10时，P′（10）=150（元），它表示在每天生产10吨的基础上，再多生产1吨，总利润将增加150元。

当x=25时，P′（25）=0（元），它说明当每天产量是25吨时，再多生产1吨，总利润几乎没有变化，这一吨产量并没有产生利润。即此时利润达到最大。

当x=30时，P′（30）=50（元），它表明产量在30吨时，再多生产1吨，总利润就要减少50元。这说明并非生产的产品数量越多，利润越高。

2.1.2 弹性系数

弹性概念在经济学中应用广泛，只要两个经济变量之间存在着函数关系，我们就可用弹性来表示因变量对自变量的反应的敏感程度。设两个经济变量之间的函数关系为Y=f（X），则弹性公式为：ε==・，其中ε为变量Y对变量X的弹性系数，ΔX、ΔY分别为变量X、Y的变动量。ε给出当经济变量X发生1%的变动时，由它引起的经济变量Y变动的百分比。

例2?摇假设某种商品的市场需求函数是Y=4000（100―P■），需求量Y的单位是，价格P的单位是元。如果目前这种商品的价格是5元／，求这时需求量对价格的弹性ε■。

解：?摇Y′（P）=8000P

当P=5时，Y（5）=3×10■， Y′（5）=4×10■／元。

所以，ε■= Y′（5）・■ =■≈0?郾67，这说明当这种商品的价格在5元／的水平时，价格上升1%， 市场的需求量相应地下降0.67% 。在经济学中，如果|ε■|＜1，则称之为低弹性，表示价格的变化对需求的影响不大。

2.2 函数极值的应用

导数在优化问题中有着广泛的应用，在介绍导数的应用时，可选用实际问题，通过建立数学模型来求解，既使学生看到了导数在实践中的应用，也学会了建模的基本步骤。

例3?摇易拉罐的优化设计

生活中，可口可乐、雪碧等饮料采用易拉罐来包装。由于饮料销量极大，饮料生产企业为了降低成本，就必须考虑将制罐材料减少到最小限度，这对于每天生产成千上万听饮料的大厂来说，尤其必要。试对制作易拉罐所用材料最省进行优化设计。

（1）问题分析：以可口可乐饮料为例，一听饮料其净重基本保持不变。要求饮料罐内体积一定时, 使易拉罐制作所用的材料最省的顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比。

（2）模型简化与假设：

①将易拉罐近似看成一个直圆柱体。开罐装置及上、下底的其他设计忽略不计。

②设易拉罐的侧壁厚度为b，顶盖厚度为αb，底部厚度为βb，所用材料的体积为T，这里α>β≥1 ，记k=α+β。设易拉罐的体积用 V 表示, 内部半径为r，罐的内部高度为h。根据对问题的分析，其中，b与V为固定的参数，α与β为待定参数，r与h为自变量，T=T(r,h)为因变量。

（3）模型构成：

T=［π(r+b)2-πr2］h+π(r+b)2αb+π(r+b)2βb

=πb(2r+b)h+πkb(r+b)2

=2πbrh+πb2h+πbkr2+2πkb2r+πkb3

由于b

而易拉罐的容积为V=πr2h，记?准(r,h)=πr2h-V

于是建立的数学模型：T(r,h)=2πbrh+πkbr2s.t. ?准(r,h)=0

（4）模型求解：这是一个带约束条件的极值问题，可以化为无条件极值，运用导数方法求解。

把约束条件?准(r,h)=πr2h-V=0代入目标函数, 得到

T=+πkbr2?摇T′=πkbr2-?摇?摇令 T′=0

解得驻点r*=，根据实际情况知有极小值，所以r*是一个极小值点。此时，h*=kr*,T=3b。

（5）模型检验：经过测量，α=3, β=1 ，即底部厚度与侧壁厚度基本一样，而顶盖的厚度为侧壁厚度的3倍，这样α+β=4，代入结果得h*=4r*=2d。即在满足上述厚度和容积要求条件下，易拉罐的高为直径的2倍时，所用材料最省。这与实际基本吻合。

2.3 积分的应用

人口预报模型：

问题重述：今年人口数量为x，年增长率为常数r。问t年后人口数量将达到多少。

模型构成：设时刻t的人口数量为x(t)。

由分析知： x(t+Δt)-x(t)=r・Δt・x(t)

即得=rxx(0)=x，分离变量后，积分得到：x(t)=xert。从而，任意给出时间t，就可求出对应的人口数量x(t)。

参考文献：

[1] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].高等教育出版社,2003.

[2] 戴朝寿,孙世良.数学建模简明教程[M].高等教育出版社,2007.

[3] 张荣,过榴晓,徐振源.从对比中更好地把握微积分的教学改革[J].高等数学研究,2011(1).