“数形结合”巧解数学题

时间:2022-10-16 01:55:11

“数形结合”巧解数学题

数形结合,顾名思义就是把数学问题中的数量关系与几何图形结合起来,使“数”和“形”各展其长,优势互补,相辅相成,使逻辑思维和形象思维完美地统一起来.正如我国著名数学家华罗庚先生所言:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞?数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休.”数是形的灵魂,形是数的翅膀,二是相互联系、相互补充、密不可分.每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形作出直观地反映和描述.

一、以形助数,直观明朗

许多代数问题,可根据题设中的数量关系的几何意义,联想构造出与之相关的几何图形(图示、图象、图表等),使原问题所蕴含的数量关系,通过图形直观、整体、鲜明地表示出来,从而使原问题获得巧妙的解答,这种创造性思维方式,不妨称之为“以形助数”.

例1 已如cosα+cosβ=1,求sinα+ sinβ的最值.

解:构造圆心在原点的单位圆,如图1所示,在单位圆上取两点A(cosα,sinα)和B(cosβ,sinβ),则AB连线的中点坐标M为(■,■),由cosα+cosβ=1可知M点坐标为(■,■),当M点在弦CD上移动时,可得-■≤■≤■,即-■≤sinα+sinβ≤■. sinα+sinβ的最小值是-■,最大值是■.

本题仅凭代数方法难以求解.根据题目中cosα+cosβ=1和sinα+sinβ的特点,联想到圆心在原点的单位圆上的点的坐标(cosα, sinα)和(sinα, sinβ),构造出图1后,可直观清晰地体现出题中式子cosα+cosβ和sinα+sinβ与弦AB的中点坐标相关,从而巧妙地找到解题之路.正如美国数学家斯蒂思所说的:“如果一个代数问题可以被转化为一个图形,那么,思想就整体地把握了问题,并且能创造性地思索问题的解法.”

“以形助数”的解题方法,其作用有如“春雨断桥人不渡,小舟撑出柳荫来”.行人要过河,恰逢断桥受阻,可喜的是,柳荫深处悠悠撑出小舟一只,渡过行人.构造之图形好似撑出之小舟,它能及时渡过解题难关.用“以形助数”的方法解题既要明确目的,即需要构造什么图形,又要清楚题设条件的特点,以便依据特点设计构造途径和形式.明确目的、掌握特点是“以形助数”解题的关键.

二、以数辅形,简便灵巧

不少几何问题,可针对其图形的特点,寻找恰当表达问题的数量关系,将图像信息转换为代数信息,让几何问题代数化,巧妙利用代数的知识解决几何问题.这种解题方法,不妨称之为“以数辅形”.

例2 在正方形ABCD内取一点E,使∠EBC=∠ECB=15°,连结AE、DE,求证:AED是正三角形.

证明:建立如图2所示的平面直角坐标系,设正方形边长为2,则B(0,0),C(2,0),A(0,2),D(2,2),E点坐标为(1,tan15°),即E(1,2-■).

AE=■

=2,

DE=■=2,而AD=2,

AED是正三角形.

本题仅凭“纯几何”的方法难以证明,但题目中给出了边和角度的数量关系,且图形对称,故可考虑建立平面直角坐标系,用坐标法求得AE、DE的长度,与AD等长,灵巧而简便地解答了问题.

当几何问题中“形缺数时”,往往使人感受到“难入微”的困惑,对于这类问题,要善于挖掘图形特点,利用代数的性质,得出相应的数量关系,实现由形到数的转化,让几何问题代数化,使问题化难为易.在“以数辅形”解题中,常用的方法是解析法,也即坐标法,对于具有明确的数量关系的命题和具有对称图形、图形中各元素有一定的位置关系的命题,用解析法解题是很方便的,除前面所列出常见的“数”与“形”的对应关系外,还有利用斜率关系证明直线的平行或垂直,利用距离公式证明线段的相等或不等.这种利用“以数辅形”来解决“纯几何”问题的解题思维,往往有“出人意料之外,又在情理之中”的效果,其方法别开生面,不仅能拓宽思维,开阔解题思路,有益于培养学生良好的思维品质,对几何与代数知识的综合、熟练掌握也有促进作用.

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