“数形结合”巧解数学题

数形结合，顾名思义就是把数学问题中的数量关系与几何图形结合起来，使“数”和“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维和形象思维完美地统一起来.正如我国著名数学家华罗庚先生所言：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞？数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”数是形的灵魂，形是数的翅膀，二是相互联系、相互补充、密不可分.每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形作出直观地反映和描述.

一、以形助数，直观明朗

许多代数问题，可根据题设中的数量关系的几何意义，联想构造出与之相关的几何图形（图示、图象、图表等），使原问题所蕴含的数量关系，通过图形直观、整体、鲜明地表示出来，从而使原问题获得巧妙的解答，这种创造性思维方式，不妨称之为“以形助数”.

例1　已如cosα+cosβ=1，求sinα+ sinβ的最值.

解：构造圆心在原点的单位圆，如图1所示，在单位圆上取两点A(cosα，sinα)和B(cosβ，sinβ)，则AB连线的中点坐标M为（■,■），由cosα+cosβ=1可知M点坐标为（■,■），当M点在弦CD上移动时，可得-■≤■≤■，即－■≤sinα+sinβ≤■. sinα+sinβ的最小值是-■，最大值是■.

本题仅凭代数方法难以求解.根据题目中cosα+cosβ=1和sinα+sinβ的特点，联想到圆心在原点的单位圆上的点的坐标（cosα, sinα）和（sinα, sinβ），构造出图1后，可直观清晰地体现出题中式子cosα+cosβ和sinα+sinβ与弦AB的中点坐标相关，从而巧妙地找到解题之路.正如美国数学家斯蒂思所说的：“如果一个代数问题可以被转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.”

“以形助数”的解题方法，其作用有如“春雨断桥人不渡，小舟撑出柳荫来”.行人要过河，恰逢断桥受阻，可喜的是，柳荫深处悠悠撑出小舟一只，渡过行人.构造之图形好似撑出之小舟，它能及时渡过解题难关.用“以形助数”的方法解题既要明确目的，即需要构造什么图形，又要清楚题设条件的特点，以便依据特点设计构造途径和形式.明确目的、掌握特点是“以形助数”解题的关键.

二、以数辅形，简便灵巧

不少几何问题，可针对其图形的特点，寻找恰当表达问题的数量关系，将图像信息转换为代数信息，让几何问题代数化，巧妙利用代数的知识解决几何问题.这种解题方法，不妨称之为“以数辅形”.

例2　在正方形ABCD内取一点E，使∠EBC=∠ECB=15°，连结AE、DE，求证：AED是正三角形.

证明：建立如图2所示的平面直角坐标系，设正方形边长为2，则B（0,0），C（2,0），A（0,2），D（2,2），E点坐标为（1,tan15°），即E（1,2－■）.

AE=■

=2，

DE=■=2，而AD=2，

AED是正三角形.

本题仅凭“纯几何”的方法难以证明，但题目中给出了边和角度的数量关系，且图形对称，故可考虑建立平面直角坐标系，用坐标法求得AE、DE的长度，与AD等长，灵巧而简便地解答了问题.

当几何问题中“形缺数时”，往往使人感受到“难入微”的困惑，对于这类问题，要善于挖掘图形特点，利用代数的性质，得出相应的数量关系，实现由形到数的转化，让几何问题代数化，使问题化难为易.在“以数辅形”解题中，常用的方法是解析法，也即坐标法，对于具有明确的数量关系的命题和具有对称图形、图形中各元素有一定的位置关系的命题，用解析法解题是很方便的，除前面所列出常见的“数”与“形”的对应关系外，还有利用斜率关系证明直线的平行或垂直，利用距离公式证明线段的相等或不等.这种利用“以数辅形”来解决“纯几何”问题的解题思维，往往有“出人意料之外，又在情理之中”的效果，其方法别开生面，不仅能拓宽思维，开阔解题思路，有益于培养学生良好的思维品质，对几何与代数知识的综合、熟练掌握也有促进作用.