借助特例,化繁为简

特殊蕴含于一般之中，特例情形是一般情形在具体、特殊的背景下的表现形式.若能有效借助题目的隐含信息，通过选择特例，巧取动（变）中之一瞬（或值），以小见大，以点带面，或捷足先登，或得到启示，或发现问题，从而迅速破解问题.

一、借助特例，捷足先登

例1 （2011年四川绵阳）若x1、x2（x1

A. x1

C. x1

解析：无论选择哪一个答案，都意味着x1、x2、a、b的大小排列有一个固定的顺序.由此可令a=-1，b=1，则原方程变为（x+1）（x-1）=1，即x2=2.解得x1=-■，x2=■.故有x1

例2 （2011年山东烟台）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则EFG的周长是（ ）.

图1

A.8 B.9 C.10 D.12

解析：结论是确定的数据，而图形却有很大的“随意性”，这说明图形在不改变题目内涵的情况形下运动变化时，EFG的周长为定值.结合已知中“两底的差是6，两腰的和是12”，可将图1“特殊化”为一个正三角形，如图2所示，其三边长均为6，借助三角形的中位线，易得EFG的周长是9.故选B.

图2

点评：以上两例，一个是代数题，一个是几何题，直接处理，难度都很大.但由于从题目（包括已知条件、待求结论和图形）中提取出一些隐含信息，实现了速解. “特例法”展示了数学思维的简洁之美，是一种有效的方法.

二、借助特例，退中求进

例3 （2011年湖南长沙）如图3，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角线APQ.当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B.（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

图3

解析：此处仅关注第（2）问：题目让证明∠ABQ为定值，如果能事先知道这个定值是多少，就能有的放矢了.注意到图形具有很大的随意性，且这个随意性是由点P的运动引发的，可以让点P运动到一个特殊位置――当点P在点O左侧且∠PAO=60°时，则点Q落在纵轴负半轴上.此时，在ABQ中，AB=■AQ，∠BAQ=60°，容易判断∠ABQ=90°，即所求定值为“直角”，思维目标被锁定！可以通过证明APO≌AQB完成推理：易证AP=AQ，AO=AB，且∠PAO=∠QAB=60°-∠OAQ（或60°+∠OAQ，或60°-∠PAB，或60°+∠PAB――因点P在不同位置而有所变化），即APO≌AQB总成立，∠ABQ=∠AOP=90°总成立.

点评：苏谆教授曾说：“简单情形正像是一把钥匙、一面镜子，可以为我们解答复杂的数学问题提供启示与借鉴.”对于一类以探究“定值”“定点”“定线（向）”为特征的数学题，可以通过“主动寻求与建构特例”，巧妙锁定思维方向，迅速实现问题的解决. “特例探路，巧锁目标”实质上是一种“以退求进”的策略――退中悟理，执理而进.这样，就大大避免了探索的盲目性，优化思维过程，显得简洁明快.所谓“难的不会，想简单的”，说的就是这个道理.

三、借助特例，事半功倍

例4 （2012年重庆）先化简，再求值：（■-■）÷■，其中x是不等式组x+4>0，2x+5

解析：化简正确是第一步，若化简原式=■，是否正确？令x=0，原式=-■，而■=3，显然化简出错，继而修正，才能得到正确答案.

例5 （2012年辽宁本溪）图4是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案，第1个图中菱形的面积为S（S为常数），第2个图中阴影部分是由连接菱形各边中点得到的矩形和再连接矩形各边中点得到的菱形产生的，依此类推……则第n个图中阴影部分的面积可以用含n的代数式表示为 .（n≥2，且n是正整数）

图4

解析：若得到结果为（■）n，是否正确？可把菱形特殊化为正方形，则第2个图中所有小块的白色或黑色的三角形均是全等的，易得其中阴影部分面积为■=■，这与（■）2=■不符，结果错误，需重新修正处理.

点评：运算或推理上出现纰漏而致结果错误，由于思维定势的影响，一般的检查方法往往较难奏效. 而借助特例检查，思维简单明朗，查出错误的机率大大增加.尤其像因式分解、代数式化简等数式变形，运算结果应与原式恒等，可用特殊数值代入比较，看是否有误.此法对一些几何问题查错也有效.虽然特例只能查错，纠错要另外进行，但及时发现错误是重要的.同学们需要注意的是：（1）特殊值、几何特例的选取要简便，易于计算与推证；（2）特殊值、几何特例应在题目允许范围内；（3）特例成立时并不等于原结果一定正确，如a=2时，2a和a2是没有区别的，1n（n为整数）与n无关，等等.