“牛吃草问题”的数学意义

邻家小孩杰杰是一名小学六年级学生，聪明伶俐，勤学好问，还自称是我的“粉丝”。一天，他拿着这样一道数学课后思考题来问我：

一片草地，每天都匀速长出青草，可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？

这个题目对于一般中学生来说只是一个简单的方程组就可以解决的问题，不需要多少解题技巧。而要让只懂得加减乘除四则运算的小学生用算式描述出其中的数理关系，“粉丝”眼中的“数学大师”，一时还真有那么一点有劲使不出的感觉。

为了维护自己在“粉丝”眼中的良好形象，我故作镇静，使了一个缓兵之计：“我们暂不问最后的结果，先看看题目中涉及哪些基本量。”杰杰反应很快：“草地原有草量，草地每天生长的草量，每头牛每天必吃的草量。”我说：“对呀，如果能求出这三个量，最后结果不就是和尚头上的虱子吗？”

我成功地把杰杰的注意力由寻求题目的答案转移到思考解题的路径上来，接着说：“命题者有一个假定，认为这三个量都是固定的常量，只是没有标明也无须标明具体的数目。”我一边说一边也在思考这三个常量的具体数目。

停顿片刻后我说：“显然这三个量中第三个量最小，为便于计算，我们不妨将每头牛每天必吃的草量定为标准量‘1’，则24头牛吃6天的草量为24×6＝144，20头牛吃10天的草量为20×10＝200，两者相减200－144＝56为草地后4天生长的草量，那么平均每天生长的草量为56÷4＝14。而草地原有草量的计算有两种方法。算法一：144－14×6＝60；算法二：200－14×10＝60。算法不同，结果一样。”

等把三个重要的量算出来，杰杰大笔一挥：60÷（18－14）＝15。“我知道了，草地可供18头牛吃15天。”“你真聪明！”杰杰心里甜滋滋的。

我告诉杰杰，这类数学题最先由英国科学家牛顿提出来，后来人们将这类问题简称为“牛吃草问题”。

牛吃草问题与其他数学问题不同之处在于：草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。这种问题一经牛顿提出，立即成为数学的热点问题。好比打靶，打移动靶比打固定靶更具挑战性。它蕴含的数理关系具有代表性，解决这类问题，对于提高学生数学思维的严密性和灵活性很有帮助。正像现在的平面几何，在现实生活中的应用价值已经非常有限，但对锻炼学生的逻辑推理能力具有其他数学材料不可替代的价值。

牛吃草问题，一般的解法可总结为：

1.将1头牛单位时间吃草量设定为标准量“1”；

2.单位时间草的生长量＝（对应牛的头数×较多时间数－对应牛的头数×较少时间数）÷（较多时间数-较少时间数）；

3.原来的草量＝对应牛的头数×吃的时间数－单位时间草的生长量×吃的时间数；

4.吃的时间＝原来的草量÷（牛的头数－单位时间草的生长量）；

5.牛的头数＝原来的草量÷吃的时间数＋单位时间草的生长量。

许多工作总量随时间均匀变化的问题，如排水问题、检票问题等，其本质和解题思路都和“牛吃草问题”相同，我们可以以不变应万变，轻松解决。

例1 一水库原存水量一定，河水每天均匀入库。用5台同样的抽水机连续工作20天可将水抽干,用6台同样的抽水机连续工作15天可将水抽干。若想6天将水库里的水全部抽干，需要多少台同样的抽水机？

解：设1台抽水机1天的抽水量为1，则5台抽20天的抽水量为5×20=100，6台抽15天的抽水量为6×15=90。

（20-15）天流入水库的水量为100-90=10，

1天流入水库的水量为10÷5=2，

水库原有的水量为100-2×20=60或90-2×15=60，

6天抽完需要抽水机的台数为60÷6＋2=12。

例2 车站清晨开始售票，但早就有人在此排队等候买票了，且后来每分钟来的旅客一样多。从开始售票到等候买票的队伍消失，如果同时开5个售票窗口需30分钟，如果同时开6个售票窗口需20分钟。如果要让队伍10分钟消失，需要同时开几个售票窗口？

解：把1个售票窗口1分钟售票量设定为1，则每分钟来的旅客量为：（5×30－6×20）÷（30－20）＝3，开始售票前有旅客：5×30－30×3=60（人），要让队伍10分钟消失，需开窗口：60÷10＋3＝9（个）。

（作者单位：邵东县杨桥镇中心学校）