例谈如何解数学中的分类讨论题

摘 要 数学教育家波利亚说过：“掌握数学意味着解题”。解题教学作为教师数学教学的重要组成部分和手段，是培养学生通过解题来掌握巩固知识，提高能力的主要途径，不仅如此，解题教学俨然是一门艺术。低级的解题教学就题论题，解完即止，我们不禁追问：解题的思路方法够简洁吗？方法的产生够自然吗？更换本题的背景条件，目前的思路还适用吗？能否放之四海而皆知？作为教师，我们在自身解题能力的保证下，在对学生现有解题能力的准确评判下，如何指导学生用常规、自然、普通的知识，简短、明了地呈现解题过程。

关键词 数学公式 分类讨论题 知识

在初中数学中，分类讨论是贯穿于各种题型的一种重要的思想方法。由于学生对于分类的原因和标准模糊不清，有的在解题中往往以偏概全、漏解，有的甚至无从下手。以下就对某节课上处理分类讨论问题的片段做一分析。

一、 由数学概念引起的分类讨论

当涉及某些特定的数学概念时，必须分多种情况解答。

例1.若

分析：学生根据正负3的绝对值都是3，不难得出x-2的值为3或-3两种情况。

二、 由数学公式引起的分类讨论

有些公式有不同的形式或者有不同的适用范围，学生在应用时往往会忽视其中一点造成解答不全。

例2．若x2+(m-1)x+4是一个关于x的完全平方式，则m=___________

分析：完全平方公式是初中数学中两个重要的公式，事实上，学生对于一次项前是加号的完全平方式更为熟悉。原因在于在七年级学习负数中，将数的正负以及正负符号之间划上了等号。

三、 由字母取值的任意性引起的分类讨论

式子中字母取值的不同决定了不同的性质或者图形位置，尤其体现在函数解析式中含有的字母对于函数图像以及性质的决定作用。

例3.在同一坐标系中，正比例函数y=-3x与反比例函数 y=■的图象的交点的个数是_______

分析：只需要学生对k决定反比例函数所在象限这一基本知识点掌握，通过画出两个函数的草图，本题就可迎刃而解。

四、几何中图形位置的不确定引起的分类讨论

某些几何图形，在题设条件下有几种图形，这时候需要对每一种图形都进行讨论解答。

例4.若半径为3，5的两个圆相切，则它们的圆心距为（ ）

A．2 B．8 C．2或8 D．1或4

分析：对于两圆相切这一概念的理解：两圆相切指两圆外切或者内切，那么问题的解决就要通过图形的两种位置关系来讨论。

例5.在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）.

(1)点T（t，0）是x轴上的一个动点。当t取何值时，TOP是等腰三角形？

(2) 过P作y轴的垂线PA，垂足为A.点T为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四边形为平行四边形，请写出点T的坐标?

(3) 过P作y轴的垂线PA，垂足为A.点T为坐标轴上的一点。以P.O.T为顶点的三角形与AOP相似，请写出点T的坐标?

分析1：对于问题1的解决通过三部曲完成，（1）审题：要求的点T的位置？最终形成的图形形状？图像中有哪些量是确定的？（2）学生尝试画图求解，学生比较容易得出的是分别以O，P为顶点时的等腰三角形，易遗漏以所求点T为顶点时的情形；（3）尝试成果交流，反思总结。在交流中把分类的三种情况完整，并回顾思考：固定线段0P是一个不确定因素，可以作为底或者腰，而点O和点P又可以分别作为顶点，所以本题可以按怎样的标准来对等腰三角形进行分类讨论的？形成总结：在一个等腰三角形中，顶点确定，那么图形中边和角这些元素都被确定下来，所以当等腰三角形的腰底不明确的时候，我们可以按照哪个点作为顶点这个标准来进行分类讨论。

分析2：问题2中四边形的讨论还是学生先借鉴第一题的经验尝试，一部分同学一开始并没有一个确定的讨论标准，在不断地尝试画图中找到多解，依然容易漏解；一部分同学先考虑一个确定的分类的标准再尝试画出图形求解。

分析3：在学生自主探索的基础上对有疑问和漏解的同学用问题串引导：（1）先了解已知：AOP的形状？要求的点T的位置？（2）由相似关系知道，TOP也应该是直角三角形，哪个顶点可以作为AOP中直角顶点A的对应点？（3）分别以点O，P，T作为点A的对应点分三种情况来讨论。

学生画出图形，发现情况一：当点O作为直角顶点时，点T不在坐标轴上，不符合题意；情况二：当点P作为直角顶点时，OP的垂线与坐标轴有两个交点，找到两个符合条件的点T1，T2，求出T点坐标的方法多样，但是在求解的过程中注意对应点的相似关系，分AOP∽POT，AOP∽PTO两种情况；情况三:以线段OP的中点为圆心，OP的1/2长为半径作圆，交于坐标原点和X轴负半轴上一点，从而找到以点T作为直角顶点时的符合题意的点T3。在这个对两个相似三角形问题的讨论中，我们抓住了直角三角形的特殊性，按直角顶点这个标准来进行了分类讨论，不重复也不遗漏。

数学解题，数学解题教学理应是一个水到渠成的过程，我们不难发现，在处理这类问题时，1.分析已知条件隐含着的不确定的因素；2. 明确分类讨论的标准；3.按可能出现的情况不重复也不遗漏地讨论求解。事实上虽然引起分类讨论的原因是多种多样的，但这些原因其实都是最基本朴实的东西，所以只有对基础知识真正理解透彻，才能体会到分类的依据和方法，从而自然、顺利地解决该类问题。