测量不确定度评定中相关性问题探讨

摘要：当输入量相关时，合成方差应考虑相关项的影响。本文对相关的概念及产生原因进行了分析，给出输入量相关或不相关条件下的三种合成方差简化计算表达式，阐述相关系数的分析计算方法，最后通过实例对具体运用作了说明。

关键词：输入量，相关 ，相关系数，不确定度

JJF1059 - 1999《测量不确定度评定与表示》中规定, 当输入量明显相关时,其合成方差 必须考虑相关项,作为计量技术工作者，应正确理解和掌握相关性问题这一必备知识，下面笔者就测量不确定度评定中相关性问题和同行探讨一二。

一、相关的概念

相关即一个变量的变化, 受另一个变量的影响,且两个变量之间有一定的非函数的统计关系。相关程度可用相关系数来表示。国家计量技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》2.22条款对相关系数给出了以下定义: 相关系数是两个变量之间相互依赖性的度量, 它等于两个变量间的协方差除以各自方差之积的正平方根，因此

其估计值

式中为协方差，为总体标准偏差，为实验标准偏差，为的估计值。相关系数是一个常数，即-1≤≤1。

二、产生相关的原因

国家计量技术规范JJF1059-1999《测量不确定度评定与表示》6.8条款中指出, 产生相关的原因主要有三种情况:

（1）使用了相同的测量仪器。特别是当各输入量Xi的估计值xi大小比较接近时, 输入量之间会出现较大的相关性。

（2）使用了相同的实物标准。例如, 在测量不同的输入量Xi时, 采用了同一量块、砝码、标准电阻等实物标准, 很明显, 这些实物标准的示值会导致各输入量xi之间出现明显的相关。

（3）引用了相同的参考数据。例如: 同时引用了某一物理常数(如圆周率π、重力加速度g等), 某一分子量M 等。

三、相关条件下合成方差的计算

输入量相关时,测量结果的合成方差的表达式:

其中

当所有输入估计值都互为正相关, 且相关系数= 1 的特殊情况下,表达式可简化为和的平方:

当所有输入估计值都互为负相关, 且相关系数= -1 的特殊情况下,表达式可简化为:

当所有输入估计值严格的互不相关，相关系数的特殊情况下,表达式可简化为平方和:

四、相关系数的分析计算

1、相关系数的A类评定

相关系数可以从实验测量得到：测量组输入量和之值，则输入量和之间的相关系数和协方差如下：

，

及可由贝塞尔公式求出，所以可通过实验测量得到。在不确定度评定中，由于相关系数的难确定及其复杂性，相关系数的实验测量方法十分麻烦，在实际评定不确定度过程中,实验室难以付出高昂的成本去精确计算相关系数。所以实际中往往采取相关系数的B类评定方法。

2、相关系数的B类评定

实际上处理相关的问题时, 由于对相关系数的要求并不很高以及数学上的或物理学上的问题难以解决,我们在无奈之下，一般都采取了简化处理，比如相关系数只取1 、0 、-1三个值, 一般按不相关处理等。当遇下列情况时，认为两个量不相关或弱相关：取＝0。 两个量相互独立或不可能相互影响；一个量增大时，另一量可能增大也可能减小，一个量减小时，另一量可能增大也可能减小；不同体系产生的量；两个量虽然相互影响，但确认影响甚微。当遇下列情况时，可以认为两个量强相关：取＝±1。两个量之间存在明显的正（或负）相关关系；一个量增大时，另一量也增大（或减小）；一个量减小时，另一量也减小（或增大）；同体系产生的量；两量之间有近似正（或负）线性关系。

相关系数的B类评定可能会导致最终得到的合成不确定度偏大，但只要最后得到的扩展不确定度符合测量要求，合理地高估不确定度未尝不可，反之则有害无益。

五、相关性处理实例

例1: 测量一直角三角形ABC的斜边，通过测量其两条直角边AB、BC计算可得。直角边AB的长度为其测量结果为3000mm,扩展不确定度=10mm（=2）;直角边BC的长度为,测量结果为4000mm,扩展不确定度=10mm（=2）。1、试计算斜边AC的长度，并分析其测量结果的不确定度；2、正确表述测量结果。（2011年全国一级注册计量师案例分析考试题）

解答如下

1、斜边AC的长度

2、数学模型：

3、灵敏系数：

4、不确定度分量： mm

5、考虑相关性：

L1和L2使用同一台仪器测量, 可能同时偏大或偏小，认为强相关,取相关系数

6、合成不确定度：mm

7、扩展不确定度：mm ()

8、测量结果报告：斜边AC的长度为mm；mm ，。

例2：测量一个金属圆筒材料的密度，使用电子天平测量该圆筒的质量、使用游标卡尺测量内径、外径、高度通过计算可得。圆筒质量的测量结果为202.65g，扩展不确定度=0.058g（=2）；内径测量结果为100.20mm，外径测量结果为120.22mm,，高度测量结果为80.10mm, 扩展不确定度=0.01mm（=2）。计算该金属圆筒材料的密度并分析其测量结果的不确定度。

解答如下

1、金属圆筒材料的密度

2、数学模型：

3、灵敏系数： 0.0000036mm-3

-0.000040g/mm4

0.000033 g/mm4

-0.000009 g/mm4

4、不确定度分量：=0.058/2=0.029g, 0.01/2=0.005mm

5、考虑相关性：

质量和内径、外径、高度不相关，内径、外径、高度使用同一台仪器测量, 可能同时偏大或偏小，认为三者相互强相关，取相关系数。

6、合成不确定度：

先将内径、外径、高度三者用和的平方合成后再与质量用平方的和合成求得密度合成方差，

即

= 0.00000013 g/mm3

7、扩展不确定度：=2×0.00000013=0.00000026 g/mm3 =0.00026 g/cm3 ()

8、测量结果报告：金属圆筒材料的密度=7.30349g/cm3；0.00026g/cm3 ,。

[参考文献]

[1] JJF1059-1999．测量不确定度的评定与表示[S]．中国计量出版社，1999

[2]李慎安．测量不确定度评定中的相关性[J]．中国计量，2002

[3]宋明顺，陈意华，陶靖轩，顾龙方．测量不确定度评定中忽略相关项所带来的风险评估[J]．计量学报，2005

注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。