谈曲线积分与曲面积分的运算

内容摘要:在数学分析中,我们学过曲线和曲面积分的计算.但是这种计算要把方程化为参数方程后再计算。有时这种方法较困难,且不易计算。下面介绍一些计算曲线和曲面的积分方法。

关键词:曲面积分;曲线积分;实例

中图分类号:O13 文献标识码:A

在数学分析中,我们学过曲线和曲面积分的计算.但是这种计算要把方程化为参数方程后再计算.有时这种方法较困难,且不易计算.下面笔者根据自己多年的经验,提出了一些关于曲线与曲面积分的运算方法,希望能够起到抛砖引玉的效果。

一、曲面积分的运算

(一)利用轮换对称性简化第二类曲面积分运算

第二类曲面积分 也有类似于重积分的轮换对称性。这里的轮换是指:

1.被积表达式满足轮换对称性,即将补积表达式中的所有字母 按轮换次序xyzx代换后,积分不变;

2.积分曲面及其指定侧也具有轮换对称性,这是指在各坐标面上的投影区域相同,且配给的符号也相同。

若 满足上述轮换对称性,

则

上述轮换对称性通俗的说就是被积表达式的变量互换位置,被积式不变;且区域边界方程中的变量互换位置,区域也不变,从而互换后积分值当然也不变。

例1:计算其中Σ是平面x=0,y=0,x+y+z=1所围的空间区域的整个边界面的外侧。

解:因变量按次序xyzx轮换时被积表达式不变,且积分曲面在各坐标面上的投影区域相同,配给的符号也相同,故积分曲面及其指定侧亦具有轮换对称性,所以积分具有轮换对称性。

,其中Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4

因Σ2,Σ3垂直于面xoy,故

又因在Σ1上有z=0,

于是

从此例观察,先用轮换对称性简化积分后,再采用其它方法来计算此类积分,可使计算量大大降低。可见,用轮换对称性来计算某些满足该条件的第二类曲面积分,是一种切实可行的计算方法。

(二)高斯公式法

定理(高斯公式):设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲线S围成,若函数

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在V上连续,且有一阶连续偏导数,则:

(1)

其中S取外侧。(1)式成为高斯公式。高斯公式也可以表示成:

(2)

其中(cosα,cosβ,cosγ)是S外法线的单位向量。

应用高斯公式时,应注意条件:①S必须是封闭曲面,若所讨论的曲面不是封闭曲面,应当适当补上某块曲面,使它成为封闭曲面;②P、Q、R在V上连续且偏导数也连续,若它们及其偏导数在某点不连续,应当利用“挖去奇点”的技巧,在余下的区域内应用高斯公式。

例2:计算曲面积分 ,其中Σ是曲面z=1-x2-y2(z≥0)的上侧。

解:取Σ1为xoy平面上被圆x2+y2=0所围部分的下侧,记Ω为由Σ与Σ1围成的空间闭区域,则

由高斯公式知:

2Л,

而,

故。I=2Л-3Л=-Л

二、曲线积分的运算

利用Green公式求解

定理(Green公式),设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数,则:

,其中L是D的取正向的边界曲线。

利用Green公式可以把曲线积分转化为二重积分。

例3:已知平面区域D={(x,y)|0≤x≤п,0≤y≤Л},L为D的正向边界。试证:

(1)

(2)

解:(1)根据格林公式,得:

因为D具有轮换对称性,所以:

,

故:

(2)由(1)知:

(利用轮换对称性)

=

参考文献:

[1]曾华,孙霞林.三重积分及曲面积分的算法研究[J].长江工程职业技术学院学报,2006.09

[2]夏敦行,甘欣荣.若干曲线积分的求解定理[J].甘肃联合大学学报,2009.03

[3]梁存利.高数考研中有关曲面积分问题的求解方法[J].考试周刊,2009.11

[4]胡承钧.一类曲线、曲面积分方法的探讨[J].甘肃联合大学学报2009.07

作者简介:

韩艳光(1986- ),汉族,北京人,西北民族大学数学与计算机科学学院数学与应用数学专业。