一阶微分方程的应用

摘 要： 本文讨论了一阶常微分方程在几何问题，以及增长和衰减问题、混合溶液问题等方面的应用，并指出重要的是建立数学模型，以解决实际问题．

关键词： 一阶微分方程 通解 积分因子 变量变换

微分方程解决实际问题，一般说来，其步骤如下：

1.建立反映实际问题的数学模型，也就是建立这个实际问题的微分方程（利用导数的物理意义,瞬时变化率或几何切线斜率）．

2.求解这个微分方程．

3.研究解的性质并用所得的数学结果解释实际问题．

本文针对几个典型问题进行了讨论，希望对解决实际问题有所帮助，以及对提高思维及处理问题的能力有所帮助．

1.几何问题的应用

在几何上的应用主要利用曲线y=y（x）的切线斜率y（x）′，法线斜率-，曲边梯形面积?蘩|f（x）|dx，弧微分三角形dl=（dx）+（dy）等来叙述一些所求曲线或图形的几何特征．

例1：求抛物线族y=cx的正交轨线族．

分析：对y=cx两边关于x求导得：=2cx.

由于y=cx,解出c代入上式得：

曲线族y=cx在（x,y）处的切线斜率为=.

由于所求曲线组曲线与y=cx在（x,y）正交，故满足方程=-.

利用变量分离求解y=cx的正交曲线族x+2y=k为一椭圆．

2.我国人口的发展预测的应用

世界人口快速增长给环境和经济产生了巨大压力，利用微分方程可以来描述国家地区人口的变化规律，研究人口的变化趋势是人口问题研究的一项基本工作．

建立人口增长的Malthus（马尔萨斯）模型，来预测我国人口变化情况的可靠性．N（t）是t时刻我国人口总数，N（t）可连续．在［t,t+Δt］区间内人口的改变是由于人口的出生数和死亡数的差值引起的,N（t+Δt）-N（t）=bN（t）Δt-dN（t）Δt，两边同时除以Δt，令Δt0则：

=rN,N（t）=N.其中r=b-d,b为生育率，d为死亡率，r为增长率，t为一个初始时刻，N为t时刻的初始值．

求解上式的初始值问题得：N（t）=Ne.

例2：以1982年全国人口普查时得到的数据为初始值进行预测和对比.

1982年，我国人口总数为1014．41百万，人口年生育率为2%，年死亡率为0．6%，则N（t）=1014.41e与实际统计值比较，可以看出，预测我国人口总数的绝对误差相对于我国人口来说很小，因此说明此模型可以用来预测人口发展．

如果注意到人口普查或其他统计投入的人力、物力和时间，就会感到常微分方程无疑是人口预测中一条经济有效的途径．还要指出，所有人口统计资料是在人口事件发生以后得到的，要对我国人口未来发展状况进行预测，提出相应控制策略，用微分方程数学模型进行研究是唯一的选择.

3.混合溶液问题的应用

混合溶液问题，在化学和工程技术中有许多应用，此模型要详细理解．

例3：容器内有盐水100升，其中含盐50克，将溶液ρ=2克/升的盐水以速度v=3升/分注入容器内，同时，将搅拌后均匀混合物以流速v=2升/分从容器流出，试求30分钟后，容器内所含的盐量．

分析：用分析增量的方法来确定溶液中含盐量与时间的微分关系.

设时刻t时容器内所含盐为x克，其浓度为ρ.

考察从t到t+Δt时间间隔里，浓度可以近似地看作不变且近似等于t时刻的浓度ρ，因此经过Δt时间后，有：

流入的盐量=ρvΔt，流出的盐量=ρvΔt.

根据物质守恒定律，有：流入的盐量-流出的盐量=盐的增量x

即：Δx≈ρvΔt-ρvΔt

≈ρv-ρv

令Δt0，含盐量x对时间t的变化率为：

=ρv-ρv

因此ρ=克/升，将有关值代入，满足微分方程：

=6-.初始条件为x（0）=50.

最终求解为：x=171克.

参考文献：

［1］王高雄，周之铭，朱思铭．常微分方程（第三版）［M］．北京：高等教育出版社，2006：16-119.

［2］陈庆益等．常微分方程及其应用［M］．武汉：华中工学院出版社，1983：35-82.

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