信号与系统课程中有关离散傅里叶级数问题的研究

摘 要：信号与系统课程是一门专业基础课，电信、自动化、网络等专业的本科生在大二的时候都要学习这门课程。本文就其中相关离散傅里叶级数问题进行研究，以图文结合的形式对离散傅里叶级数的时域信号和频域信号的对应关系做了详细分析。

关键词：信号与系统；MATLAB；离散傅里叶级数

一、绪言

信号与系统课程是电子信息类专业的一门专业基础课，其内容涵盖了信号处理、系统分析的基本概念和基本方法，在整个专业学习中起着举足轻重的作用，它为今后进一步学习信号处理、网络理论、通信理论、控制理论等课程奠定基础。

鉴于信号与系统课程十分重要，多年来一线的教育工作者对其进行了一系列改革，使该课程从原先的纯理论性发展到理论和实践并重。理论和实践结合使得信号与系统课程不再那么乏味，尤其是实践的加入，使学生明确了学习方向和学习目的，开阔了学习思路。为了更灵活地应用信号与系统的理论知识指导实践，必须指导学生打牢理论知识的基本功。

二、信号与系统课程中有关离散傅里叶级数问题的研究

信号与系统的频域分析是信号与系统课程的重点部分，它既是一种分析方法，又具有自身的物理意义，在频域中可以看到信号在时域中看不到的一些特点。信号与系统的很多应用都是基于对频域的分析，如信号的调制解调、信号的滤波等。信号与系统的频域分析包括离散信号与离散系统的频域分析和连续信号与连续系统的频域分析，其中包括周期信号的傅里叶级数展开和非周期信号的傅里叶变换。下文就离散周期信号即周期序列的傅里叶级数展开进行讨论。

周期序列的傅里叶级数展开式及其傅里叶系数定义如下，其中N是序列的周期。

1.如何使用MATALAB正确计算离散傅里叶级数对

要想使用MATLAB正确计算出周期信号的离散傅里叶级数对，必须正确理解离散傅里叶级数对的含义，并且熟记巴塞瓦尔能量恒等定理。例如，要计算和显示如图1所示的周期序列的三个周期的傅里叶级数的频域特性及其逆变换，可以使用两种方法对其进行操作：第一种方法，先计算序列一个周期中傅里叶级数的幅值和相位及其逆变换，再显示三个周期的频域特性及其逆变换（结果见图2）；第二种方法，直接计算序列三个周期的傅里叶级数的幅值和相位及其逆变换，再显示（结果见图3）。

如表1的两个程序所示，第一种方法比较直观易懂，计算过程也不容易出错，只是每次在显示结果图的时候都要列写出三个周期；第二种方法只需要对信号进行一次三周期拓展，代码简单，但是计算傅里叶级数的过程不是很直观，学生在使用这种方法的时候容易出错。第二种方法是对信号的三个周期同时进行傅里叶级数展开的，求解逆变换的时候也是如此，为了保持能量守恒，在计算它的频谱和逆变换的时候一定要在原有公式的基础上除以3。

2.离散周期序列的重复周期对频谱特性的影响

图4为周期N=10的序列的不同重复周期对幅频特性的影响，由图可以看出当重复周期数越来越多时，频谱特性越来越集中到某些频率值上，并趋向于离散化。

如表2中程序所示，为了得到图4的正确结果，在计算频谱特性时要保持能量守恒，在原有公式的基础上必须除以序列的重复周期数。同理，在计算傅里叶级数的逆变换时，必须要乘以重复周期数以保证时域和频域的能量守恒，此处也是学生比较容易出错的地方。

三、结论

离散傅里叶级数是信号与系统频域分析的重要部分，离散傅里叶级数变换对的公式给出的仅仅只是一个周期的对应关系，我们要从本质上对它们进行透彻的理解以及挖掘隐藏在它们背后的能量守恒定理。通过MATLAB的计算和显示，有利于我们更直观地观察离散傅里叶级数变换对之间的关系，更好地掌握离散信号的傅里叶级数，在频域中更灵活地对离散信号和离散系统进行分析。

参考文献：

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基金项目：本文受“宁波工程学院重点学科建设”资金资助。