一道动点综合题的解法研究

学会解题是学好数学的必由之路。掌握解初中数学综合题的思路、方法和技巧，是初中毕业学业水平考试之前综合复习时的一个重点内容，同时，综合题的解答情况也直接影响到高一级学校对中考学生的选拔功能。教师想要提高综合题教学的课堂教学效率，就应注重数学综合题的解法研究。

下面这道题是初中毕业数学复习时一套综合测试的附加题，分值20分。在笔者所辅导的6名初中毕业年级的学生中，只有2名学生得分在15分以上，其他4名学生得分均只在5至8分之间，成绩很不理想。究其原因，主要有两点。一是畏难情绪严重。大部分学生一见到这么多的文字、数字及图形信息后，大脑中一片浆糊，懒得动脑筋去梳理题意，乱做一通了事；二是考虑不周全，答案不全面。在与学生一起剖析、分解这道题目的过程中，笔者发现此题有进一步深入分析、挖掘、拓展、变式的研究价值。

笔者一直强调一点：学好数学离不开解题，但是，数学题目多如牛毛，不可能题题都能解到，也不必都解到。所以，师生更应该从一道题、一类题出发，总结规律，举一反三，融会贯通，见一叶而知秋。

如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C=90°，BC=12，AD=18，AB=10。动点P、Q分别从点D，B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上，以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）。

问题：

设射线PQ与射线AB相交于点E，AEP能否为等腰三角形？如果能，请直接写出t 的值；如果不能，请说明理由。

一题在手，首先当然是分析题意，从题目的描述过程中抓住相关数量关系（教师应该教学生特别注意题目当中的红色字体表示的意义，在下面的分析过程中，也要特别关注这些文字、数字在图形上的直观表现。如：BC=12，AD=18，这在图形上的表现就是6的2倍与3倍的问题），结合图形、文字，模拟动点运动轨迹，找出问题的关键。

然后，引导学生在图形上找到两个动点P、Q运动时的几个关键时刻（t）的准确位置：

（1）t = 0时，准备出发。

（2）t = 6时，PQ//AB，无解。

（3）t = 9时，P与A重合，无解。

（4）t=12时，Q、P 两点均停止运动。此时BQ = BC = 12 ，DP = 24 ，无解。

接着，与学生条分缕析，再着手从以下三个时间段内去分析射线PQ与射线AB的相交情况：

（5）0 < t < 6时， 射线PQ与射线AB相交于点E，若要使AEP为等腰三角形，得从AEP的三边中的任意两边相等情况来看，则必须全面考虑以下三种情形：

EA = EP；

PA = PE；

AE = AP。

（6）6 < t < 9时，考虑到射线的方向性，射线PQ与射线AB不可能相交。不合题意，无解。

（7）9 < t < 12时，射线PQ与射线AB相交在线段AB上，有解。

题目内涵挖掘、研究至此，这时师生心中应该都有了畅快淋漓之感。

（作者单位：湖南省古丈县教育局）