“锐角三角函数的简单应用”的教学实录及反思

“锐角三角函数的简单应用”是苏科版教材第七章第六节的内容，它是在学生掌握了锐角三角函数的概念、特殊角的三角函数值和解直角三角形的基础上展开的一节应用，是解决生活中实际问题的需要，同时也是学生深刻理解锐角三角函数知识的需要.研究锐角三角函数的应用，其目的是让学生用所学知识解决实际生活中的问题，感受生活与数学的关系，培养学生学习数学的兴趣，以及应用数学的意识与能力.这节课的学习不仅是对已学知识的综合应用和深化，而且是培养学生理性思维和创新思维的有效途径.

同时，在研究锐角三角函数的简单应用时，需要学生对图形结构相互关系进行观察和分析，对图形整体或部分进行必要的变换.有了前面的知识做铺垫，学生已经建立了各种解直角三角形的知识储备和一定的推理能力基础，有能力采用直观与理性相结合的方式学习本节内容.

一、教学实录

上课开始，屏幕上以动画形式播放一个气球在天空停留，一学生站在A点处观测气球，测得仰角为30°，然后他向着气球的方向前进了100m，此时小明再次观测气球，仰角为45°，若小明的眼睛离地面1.6m，小明如何计算气球的高度呢？（精确到0.1m）

教师与学生一起画出草图，将实际问题转化为数学模型，学生一起看图，逐一说出问题中的已知量与未知量.

师：要计算CD，可以利用RtCBE和RtCAE，先找出BE、CE与已知量的关系？

生：可以设CE长为xm，则在RtCBE中，由“等角对等边”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，然后在RtCAE中，利用tan30°=，算出x+1.6的值，即为旗杆的高度.

师：根据上述方程，大家以最快的速度解这个方程，不会的相互帮忙一下.

点评：以上的分析过程简洁明了，根据30°角的正切值列出方程也很容易理解，但是具体在解这个方程的过程中，学生却遇到了很大的麻烦。有很多学生不会解决此类方程，因为方程中x的系数带有根号，而且要先移项，再合并同类项，最后还要经历分母有理化的过程，分母有理化本身是书本上的选修内容，中间还渗透了平方差公式，对于一些对平方差公式不熟练的学生而言，这是解此类方程的一个难点.

教师边引导学生解方程的一般步骤，边引导学生找出分母的有理化因式，从而保证结果的最简，师生一起努力共同完成解答过程.

生：解：设CE长为xm，在RtCBE中，

∠CEB=90°，∠CBE=45°，

∠CBE=∠BCE=45°，

由“等角对等边”可知BE=CE=xm，AE=（100+x）m，

在RtCAE中，∠CEA=90°，tan∠CAE=，

tan30°=，

即=

3x=100+x

（3-）x=100

x===50（+1）

CD=CE+DE=50（+1）+1.6≈138.2m.

教师点评：这一种方案是先在RtCBE中设未知数，再根据“边角关系”用的代数式表示BE，从而表示AE，最后在RtACE中利用tan30°的函数值列出方程，从而达到解决问题的目的.除了用以上方法解决问题外，同学们观察一下图形的特点，能否找出已知线段与未知线段之间存在的相等关系？

生：AE-BE=AB.

师：能否根据这一相等关系列方程呢？大家先独立研究，然后把自己的研究成果与同组同学交流.

学生开始探究，教师巡视.巡视过程中发现大部分同学能利用第一种方案中的两个直角三角形展开思维，也有的同学在“AE-BE=AB”的基础上重新设未知数，结果得出的方程与第一种方案一致.

师：请想出不同方案的同学把你的研究成果写在黑板上，其他小组进行补充.

全体同学一起努力，最后得到如下结果：

设CE=xm，在RtACE中，∠AEC=90°，

tan30°=，AE==x.

在RtCBE中，∠CEB=90°，tan45°=，BE==x，由AE-BE=AB可知，x-x=100，（-1）x=100，x===50（+1）.

教师总结：以上给出了两种方案，从解题的技巧和解题方法来看，第一种方案利用小RtBEC的边角关系设未知数，再由大RtAEC的边角关系列方程，由内而外地展开大家很容易理解，但是得出方程后解此方程有一定的困难.第二种方案由两个直角三角形同时进行，利用边角关系表示AE，BE，再根据“AE-BE=AB”直接列出方程，而且这个方程比第一种方案中的方程容易解，由此评价方案二比较可行，但是方案二中表示AE，BE时必须注意方式方法.

师：将问题中的特殊角改为27°与40°，其他数据不变，求气球的高度，选择一种你认为比较合适的方案，自己先试一试.

（在巡视的过程中，选两位用不同方法解答完成的学生上黑板板演.）

生甲：设CE=xm，

在RtBEC中，∠BEC=90°，tan40°=，BE==.

在RtAEC中，∠AEC=90°，tan27°=，AE==.

AE-BE=100，-=100.

tan40°x-tan27°x=100・tan27°・tan40°.

x=.

生乙：设CE=xm，

在RtBEC中，∠BEC=90°，

tan40°=，BE==.

在RtAEC中，∠AEC=90°，

tan27°=，tan27°=.

100・tan27°+=x.

100・tan27°・tan40°+tan27°・x=tan40°・x.

x=.

教师与学生一起点评，生甲的方案是建立在“AE-BE=100”的基础上进行的，方程比较简单，解题的过程简洁明了.生乙的方案是由内而外展开，由小RtBEC内的边角关系设未知数，由大RtAEC的边角关系列方程，所列方程稍微有点复杂，但是只要细心，照样可以解出答案.

师：大家有没有发现这两个直角三角形有着一条公共的边呢？

生：有，是线段CE.

师：能否根据公共边相等列方程呢？此时设哪条线段为未知数比较合适呢？

生：设BE=xm，则AE=（100+x）m，在RtBEC中，∠BEC=90°，tan40°=，CE=BE・tan40°=x・tan40°.

在RtAEC中，∠AEC=90°，

tan27°=，

CE=AE・tan27°=（100+x）・tan27°，

x・tan40°=（100+x）・tan27°.

解得x=.

CE=・tan40°=.

最后求出气球的高度即可.

教师总结：本节课我们主要研究了锐角三角函数的简单应用，学会了从各种不同的角度分析问题，抓住问题的突破口，步步逼近.今天我们一起探究了解决锐角三角函数的三种方案：方案一，由内而外，利用三角函数列方程求解；方案二，根据两线段之差等于已知线段列方程求解；方案三，抓住两个三角形的公共边列方程.这三种方案各有千秋，平时解题时我们要具体问题具体对待.

二、总评

1.本节课最大的“亮点”：在数学教学中，教师有意识地引导学生自主探索，合作交流，注重培养学生理性思维的习惯和方法，求解过程不必统一，鼓励多样化的解题方法，培养学生的创新意识.

2.需要进一步思考的问题：学生在探究的过程中，图形语言与数学符号语言相结合是重要的数学思想和数学方法，这一过程需要时间的保证，因此教学内容还需要精简，教学语言还需要精练.