让学生在数学复习课中获得“新知”

数学中考复习是初中数学教学的一个重要环节，是在学生学完了初中数学的全部内容后，进行一次系统、全面的回顾与整理，以达到查漏补缺、深化对知识的理解和认识、落实高层次智能目标、促进学生智能迁移的目的.然而，由于复习教学往往是“面对老学生，复习旧知识”，所以“学生听得不新鲜，教师讲得很乏味”.因此，常常会出现“以习题训练代替复习教学、以知识框架代替知识梳理、以解题数量追求教学质量”等现象.所以，怎样让学生在知识梳理的过程中获得对旧知的新认识，怎样让学生在问题解决的过程中获得新经验，并学会数学地思考和解决问题是复习阶段要反思和研究的问题.笔者认为，虽然复习课是复习旧知，但应让学生在复习课中获得“对旧知的新认识”，即“温故更要知新”，现和各位同行分享一些观点和案例.

一、设计新起点 奠定复习的高度

虽然复习课是“面对老学生，复习旧知识”，但是学生在身体成长的过程中，心智也慢慢成熟，相比之前学习同样的知识，他们会更加驾轻就熟，好多学生会觉得之前认为难学的内容一下子变得简单了，好多以前不会做的题目竟然也会了.再者，虽然知识是曾经学习过，但是有些知识由于学过后隔了较长时间，加上很少运用渐渐淡忘，还有些知识会因为后续知识的学习而出现负迁移.正是因为学生的心智变化和知识的遗忘规律，所以在进行复习课教学时，我们要根据所教学生的实际情况，设计新的起点，让学生站在合适的位置重新出发.

【评析】以上两种不同的教学方式折射出教师不同的教学理念，笔者认为最大的区别就是设置了不同的复习起点.复习方式一在教师“连说带写”的方式下回顾实数的分类，教师将分类表板书留在黑板上，学生做中考题，它几乎也是新授课的教学流程：介绍实数的分类通过中考题辨别各种实数.这样的知识梳理实际上是把知识作为记忆“植入”学生头脑，学生要做多少道中考试题才能穷尽各种各样的情况？复习方式二和平时新授课的过程正好相反，它是基于学生脑中已有实数分类表的前提下，设问“对屏幕上杂乱无章的数进行分类”，学生在分类的过程中必然要选定一定的标准，这个选定标准的过程自然就唤醒了学生头脑中的旧知，学生历经回忆、思辨的过程（如在互相辩论，属于哪一类数的过程中知道带有“分数线记号”的数不一定是分数，知道分数“”还可以表示为“sin30°”的形式），自然而然地把实数的分类表建构在自己的认知结构中，达到了知识梳理的目的.

复习课往往从知识梳理开始，知识梳理不是知识框架的简单再现，而是设计合适的问题唤醒学生的回忆，通过问题解决建构知识体系.比如平行四边形的判定方法众多，如果通过PPT呈现平行四边形判定方法的文字叙述，学生头脑中也不会留下深刻的印象.我们不妨设计如下的问题：如图1，已知平行四边形ABCD的三个顶点为A，B，C，请你画出它的第四个顶点.

学生在问题解决的过程中全面回顾了平行四边形的判定方法：如图2（分别过点A，C画对边的平行线）；图3（过点A画BC的平行线，在平行线上截取AD=BC）；图4（分别以A，C为圆心，以BC，AB为半径画弧交于点D）；图5（连结AC，取AC的中点O，作射线连结BO并在射线上截取OD=OB），以后再运用平行四边形判定时就有了基于图形具体的联想.

要设置一个适合学生起点的问题，一个比较好的做法是通过课前的习题作业反馈进行摸底，了解学生现有的学习水平和学习情况.只有从学生的实际出发设计起点，不让复习成为简单的重复，才能奠定复习的高度.

二、重构新认知 拓广复习的宽度

由于学生当初学习新知识时，知识还不够完备，很难对所学的新知识有一个全方位的认识和理解.当学生掌握了后续的知识内容，拥有了丰富的知识体系以后，对前面所学的知识又会产生新的认识，当然也有可能混淆前后知识体系，产生负迁移.在复习教学时，应设计合理的问题，让学生进一步明确概念的内涵、命题的来龙去脉，拓广复习的宽度.

案例2 反比例函数复习课

反比例函数的性质：反比例函数的图象是一个中心对称图形.学生当初在学习时是用“数”的方法来说明它是一个中心对称图形，即若点（x，y）在反比例函数y=的图象上，则它关于原点的对称点（-x，-y）也在反比例函数y=的图象上，所以反比例函数的图象是中心对称图形.但是当学生在后续学完相似三角形的性质、判定等知识时，学生就可以应用“形”的方法来说明反比例函数图象是中心对称图形，如图6，在反比例函数图象上任取点A，连结OA并反向延长交反比例函数图象的另一个分支于点B，由点A，B分别向坐标轴画垂线，点A，B与垂足C，D构成的AOC与BOD相似而且面积相等，所以这两个三角形全等，从而得到对应线段相等，故反比例函数的图象是中心对称图形.这样的复习让学生以不同的视角来理解以前学习的内容，获得对旧知识的新认知，从而达到知识的融会贯通.

初中数学中，类似的内容比较多.比如在学习了圆的相关知识以后，学生可以认识到“由于矩形的对角线相等且互相平分，因此矩形一定存在外接圆；由于菱形的对角线平分一组对角，所以菱形一定存在内切圆”.再比如学习了相似三角形以后，我们可以很容易地证明三角形中位线的性质等等.

学生后续的知识也会对前面所学的知识产生负迁移.比如分式的化简和解分式方程.当学生还没有学习“解分式方程”时，分式化简做得相当好，但是一旦学生学习了分式方程，就容易出现这样的错误：-=2（x+1）-（x-1），把解分式方程时去分母的过程搬到分式的化简中，既是不理解分式方程解法依据的表现，也是知识的负迁移现象.再比如“写一个只含字母x的二次三项式”，学生当初在七年级学习多项式内容时一般不会出错，但是在复习阶段经常会出现这样的错误是“x2-2x-3=0或y=x2-2x-3”，这是因为他混淆了后续学习的一元二次方程和二次函数与二次三项式，出现知识的负迁移.类似于这些问题都需要我们在复习的时候通过平行设计辨析型训练题得以区别，让学生在比较中理解他们之间的关系以及如何转换.

数学学习是一个逐级递进的过程，当学生拥有更多的知识时，学生对知识的理解会出现一些新问题，需要我们统领全局，通过复习使原本孤立学习的知识板块系统化，加深对原有知识的内涵的深入理解，让学生在复习的过程获得对旧知的新认识，拓广知识的宽度.

三、提炼新经验 挖掘复习的深度

在数学复习教学时，我们会筛选许多习题让学生练习，通过解题让学生达到知识运用的目的，同时在问题解决的过程中感悟思想，积累经验，为新问题的解决提供可以借鉴的方法和经验.新课程标准指出，数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志.帮助学生积累活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.数学活动经验需要在“做”和“思考”的过程中积淀，是在数学学习活动过程中慢慢积累的.笔者认为，数学复习课问题解决是学生积累经验的重要途径.

在回顾反思解题思路获得的过程中，教师鼓励学生大胆发表自己的观点，归纳他们在解题过程中获得的经验，他们认为“最初只看问题的表面，看到函数图象自然联系函数知识来解答，后来发现获取图象的信息转化为方程来解计算量更小”，“可以把图象中的信息集中到图形上，运用图形的相似来解决问题，这是以前学一次函数时所未曾想到的”.这些经验的提炼加强了学生对图象信息的获取能力，也为函数问题的解决开阔了新的视野，达到“既见树木又见森林”的境界.

案例4 一道试题的讲评过程

已知平行四边形的一组邻边长分别为a，1（a>1），它能被平行于边的直线分割为4个菱形，求a的值.

本题满足条件的图形一共有4个，但是这4个图形怎么画出来？学生最容易犯的错误就是漏解.那么怎样才能防止漏解？如果我们仅仅是让学生画出各种图形，一次次向学生强调“不要遗漏，要周到考虑问题”这样的话语，而不追问学生“为什么要分类？怎样分类？”，不让学生以题为载体积累解决问题的经验，学生怎可能学会举一反三？事实上，本题可以这样引导学生思考：要从长为a（a>1），宽为1的平行四边形中分割出一个菱形，可以如何画分割线？此时学生能联想到分割线的画法，继续深入思考第2条分割线的画法也有纵、横之分，于是想到了借助树状图（如图8）画出分割线的位置帮助学生进行分类画出对应的图形，再计算出相应的值.这是一种从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”的“由因导果” 解决问题方式.

本题还可以采取从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”的“执果索因”的解决问题方式.比如，一个长为a（a>1），宽为1的平行四边形，经过3次分割后最后剩下的是菱形，说明最后剩下的菱形和前一个菱形一定是全等图形，所以本题倒过来考虑就相当于从一个小菱形开始，每一次拼上一个菱形，使得拼上的菱形和原来的图形组成平行四边形，拼上3个菱形后就得到已知的平行四边形.图解解题思路如下，如图9：

以上引导学生思考的过程不仅仅让学生知道问题解决的结果，更重要的是让学生经历问题解决的过程，体验分类的“脚手架”（树状图），同时积累了“倒过来思考”等解决问题的经验，对以后的问题解决提供值得借鉴的经验和方法，使学生通过解题学会有序地思考，获得一种理性的思维方法.

四、制订新目标 成就复习的效度

复习课的目标不能是简单地列举知识框架，也不能以做的题量来衡量，当然更不能一言以蔽之，笼统地说成“培养学生解决问题的能力”.笔者认为，每一节课都应根据所教学生的具体情况，确定合适的起点，制订合理的目标，通过知识的梳理、例题的选择和问题的设置，让学生学会数学思考和解决问题.比如要复习“函数思想”，将教学目标定位于在应用函数概念和各种函数性质解决具体问题的过程中，感受函数思想的重要意义；学会运用函数思想，站在新的高度和角度审视和反思问题；利用函数思想认识和刻画客观世界中间的运动变化特征，并建立函数思想与方程、转化、分类讨论及数形结合思想方法之间的联系. 这样的教学目标是比较妥当的.

立足学生，确定新的起点；架构网络，重建新的认知；解决问题，积累新的经验；基于目标，成就复习的效度.