非线性不确定系统鲁棒自适应控制研究

【摘 要】 本文基于Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式（LMI）方法，对不确定时滞系统分析输出反馈控制器的设计方法，研究了不确定系统设动态特性以及如何保证系统渐近稳定，运用MATLAB进行仿真实例分析控制器设计方法能够达到较好的控制效果，而且具有较强的鲁棒性和稳定性，证明了设计方法的有效性。

【关键词】 鲁棒控制 自适应控制 线性矩阵不等式 不确定性

鲁棒控制是利用系统模型的一些不确定信息来设计一个控制器，使得闭环系统对所有的不确定性是稳定的，且具有一定的动态性能。鲁棒控制主要研究具有未知有界不确定性的系统模型，通过鲁棒控制的手段使系统具有鲁棒性，即系统在不确定因素作用下维持其稳定性的能力。

在实际生产过程中，对各种过程及环节的控制系统设计总是不可避免的要利用到被控对象的有关信息，这些信息的获得总是要利用一些试验或推导得到我们要据此设计控制器的所谓“模型”，这些模型的精确性由于信息获得过程的局限性往往会受到影响。因此，对不确定性系统的稳定性和控制进行研究具有较大的意义和实际价值。

1 系统的不确定性

系统的不确定性因素包括有外界噪声、干扰信号、 传递函数的建模误差以及未建模的非线性动态特性。MATLAB的鲁棒控制系统工具箱可以找到系统在这些不确定性条件下的多变量稳定裕度的度量。不确定性包括很多方面， 但其中最重要的是指系统的外界干扰信号和系统传递函数的建模误差。鲁棒控制系统设计问题的一般描述如下：假定一个多变量系统P（s）， 寻找某个稳定的控制器F（s）， 使得闭环系统的传递函数满足下面的关系：

（1）

（2）

（3）

公式（1）（2）（3）为鲁棒条件，KM称为最小不确定性的大小，由于每个频率对于的奇异值来度量，函数KM又称为对角扰动的多变量稳定裕度（MSM），即为

（4）

如果Δn不存在，该问题又被称为鲁棒镇定问题（Robust stability problem）。上述问题的求解涉及到Δ的非凸优化问题，它不能通过标准的非线性梯度下降方法计算得到，因为此时的算法收敛性无法保证。然而由于μ存在上界，可以通过下式计算KM：

（5）

其中，Dp∈D为Perron最优增益矩阵。

D={diag|（d1I，…，dnI）|dj>0}，显然∞也是1/KM的上界。 如果这些上界都满足鲁棒条件约束， 那么可以充分保证μ和KM也满足鲁棒条件约束。

2 鲁棒控制分析

鲁棒分析的目的是通过某种适当的非保守分析算法来“观察”MSM矩阵。 换句话说， 我们将找出系统保持稳定状态下不确定性的上界，下面的传递函数代表某架飞机的动态特性：

（6）

基于SandbergZames的小增益定理可以推出下面的标准奇异值稳定鲁棒性定理： 对于一个M-Δ表示的系统， 如果对于任意的稳定Δ（s）满足

（7）

假定某个系统具有下面的传递函数，，经过仿真得

3 基于μ综合理论为鲁棒控制器设计

目前发展起来的H∞理论、LQG方法、LQG回路传递恢复和μ综合理论可以用来进行鲁棒控制器设计。本文以μ综合理论为例进行研究，μ综合理论在整定函数μ（或KM）时同时考虑鲁棒分析和鲁棒综合问题，作为鲁棒控制系统设计工具为用户提供了最大的灵活性。

系统μ综合问题的目标是寻找稳定的控制器F（s）和对角矩阵D（s），使得，假设D（s）=I，μ综合问题从本质上可以分解为两个不同的优化问题。对于固定的D矩阵，该问题变成标准的H∞设计问题（通过hinfopt函数计算）。而对于固定F（s）的情况，该问题就变成寻找一个稳定的D（s）来满足代价函数在每一频率处的最小性。

4 结语

本文从系统的不确定性研究着手，分析了鲁棒多变量反馈控制系统的设计问题，并通过建模获得系统的BODE图，然后以某飞机的动态特性进行系统的鲁棒性分析，得到Perron 上界与奇异值比较图。最后基于μ综合理论进行鲁棒控制器设计，获得系统特性图。综上所述，所得结果达到预期效果。

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